Öt matematikus pizzát rendel

Öt matematikus megéhezett és pizzát rendelnek. Meg is érkezik a tökéletes kör alakú pizza, amit szeretnének úgy elosztani, hogy mindegyikük egyforma területű darab(okat) kapjon. Egy matematikus része tehát több darabból is állhat. A pizzát csupa egyenes vágással szeretnék felosztani. Két vágás ugye nem elég, mert azzal legfeljebb négy részre lehet szeletelni a pizzát. Viszont nem szeretnének több vágást ejteni, mint amennyit feltétlenül szükséges, ezért úgy egyeznek meg, hogy három egyenes vágással fogják felosztani, mégpedig úgy, hogy a vágások között nem mozgatják a pizza darabjait. Az első matematikus, azt mondja, hogy éhen fognak maradni, mert ezt nem is lehet megcsinálni. A második, azt mondja, hogy majd ő fölvágja, mert tükrözésektől és forgatásoktól eltekintve ezt úgyis csak egyetlen módon lehet megcsinálni. A harmadik, azt mondja, hogy ez nem igaz, több megoldás is létezik, majd ő felsorolja őket egyesével és utána választhatnak majd, hogy melyik szimpatikus közülük. A negyedik, azt mondja, hogy kötve hiszi, hogy egyesével fel tudná sorolni őket, mert végtelen sok megoldás létezik. Az ötödik, azt mondja, hogy szerinte senkinek sincs igaza. Kinek van igaza? Három verzióban lehet gondolkodni: (a) a vágásoknak végtelen hosszúaknak kell lenniük; (b) a vágásoknak lehet végpontja, de megszakítás nem lehet egy vágásban; (c) megszakítás is megengedett.

Matemorfózis - érzékelés előadássorozat

Hat részes ismeretterjesztő Matemorfózis előadássorozat indul érzékelés témakörben. A matematika, az idegtudomány, a kognitív tudományok és mesterséges intelligencia szemszögéből betekintést nyerhetünk a látás, hallás, tapintás és a gondolkodás legérdekesebb problémáiba. Az előadók fiatal kutatók a matematika és az elméleti idegtudomány területéről. Az előadásokon bárki részt vehet a Gólya romkocsma kellemes környezetében egy a rendezvény számára fenntartott külön teremben, az előadások alatt és után lehetőség van bármennyit kérdezni és diskurálni az előadókkal és egymással.

Ízelítőül a témákból. Mire tanítanak minket az optikai illúziók? Hogyan kezeli agyunk a bizonytalanságokat? Hogyan tekinthetünk a látásra, mint számítási problémára? Következik-e valamiből az általunk ismert zenei skála? Miért komoly kérdés az a találós kérdés, hogy Melyik nehezebb: egy kiló tollpihe vagy egy kiló ólom? Mik a súlyérzékelés belsőépítészeti vonatkozásai? Mit tudunk az intelligenciáról, kreativitásról, az intuícióról, a racionális gondolkodásról és annak mechanizmusairól, illetve ezek kapcsolatáról?

Paradox lottókombináció (megoldás)

Annipanni ezen a héten két szelvénnyel játszik a hatoslottón. Van egy szerencseszáma, amit mind a két szelvényén bejelöl, a többi száma viszont mind különböző. Minek van nagyobb esélye: annak, hogy lesz két hármas találata, ami előző héten például 2 x 1185 = 2370 forintot fizetett volna, vagy annak hogy lesz egy hármas és egy négyes találata, ami előző héten 1185 + 5595 = 6780 forintot ért volna?

Még tavaly áprilisban tűztem ki a paradox lottókombináció című feladványt, de sajnos a meghosszabított beküldési határidő ellenére sem érkezett egyetlen megoldás se azóta. A fenti rávezető feladatban konkrétan megadok egy olyan paradox lottókombinációt, amiről az eredeti feladatban szó volt. Ennek az átfogalmazott feladatnak a megoldását közlöm az alábbiakban, így aki szeretné saját maga kiszámolni, az ne olvassa tovább ezt a bejegyzést.

Megoldás: Természetesnek tűnik, hogy egy hármas és egy négyes találatnak kisebb legyen az esélye a két hármas találatnál, hiszen az előbbinek nagyobb a nyeremény értéke (6780 > 2370), azaz többet fizetnek érte, és azt várnánk, hogy minél nagyobb a találatokhoz tartozó nyereményösszeg, annál nehezebb eltalálni. A feladatban szereplő korlátozó tényezők mellett azonban az az érdekesség adódik, hogy a kétféle nyerő kombinációnak éppen azonos a valószínűsége. Ez azért lehetséges, mert jelentős megszorítást jelent, hogy két szelvényen is találatunk legyen, vagyis a szelvényeken elért találatok egymástól nem teljesen függetlenek. Konkrétan két hármas találatot úgy érhetünk el, ha kihúzzák a szerencseszámot, és még két-két számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 2)*(5 alatt a 2) = 10*10 = 100 kombináció, vagy úgy, ha nem húzzák ki a szerencseszámot, de kihúznak három-három számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 3)*(5 alatt a 3) = 10*10 = 100 lehetőség ugyancsak. Összesen tehát 200 kombinációban jöhet ki két hármas találat. Négyes találat azonban egy hármas találat melett csak úgy lehetséges, ha kijön a szerencseszám, mert a két szelvényen lennie kell közös találatnak, hiszen csak hat számot húznak. Tehát a szelvények maradék öt-öt számából 3-2 vagy 2-3 kell legyen a találati arány, ezek mindegyike megintcsak 10*10 = 100 lehetőség egyenként, mert öt alatt a kettő éppen annyi, mint öt alatt a három. Összesen tehát ez is 200 kombináció.

Update: Sajnos a fenti megoldás rossz, elnéztem, lásd Gyarmati Richárd megjegyzését a hozzászólások között!

A TESCO újságtól a görög csődig

Egy korábbi bejegyzésben volt szó arról az érdekes jelenségről, hogy a TESCO újságban szereplő árak első számjegyeinek az eloszlása nem egyenletes, hanem a számjegyek nagyságával csökken az előfordulási gyakoriság. Konkrétan az egyes a leggyakoribb első számjegy, nagyjából 30%-os előfordulási aránnyal, majd a kettes számjegy következik körülbelül 20%-os előfordulási aránnyal, a maradék hét számjegy pedig osztozik az esetek másik felén.

Valójában nagyon sok adathalmaz első értékes számjegyeinek eloszlásánál találkozhatunk a fenti tulajdonsággal. Hasonló megfigyelést tehetünk, ha városok lakosságát, országok területét, vagy éppen cégek költségadatait vizsgáljuk, és még hosszan sorolhatnánk a példákat. Sőt, teljesen eltérő adatoknál is megfigyelhető a jelenség, vehetjük például a Négyjegyű függvénytáblázatok című kiadványban előforduló összes számot, vagy a különféle fizikai állandókat. Ezen számhalmazok mindegyikére igaz, hogy az első számjegyek előfordulási aránya az egyenletestől jellegzetesen eltérő eloszlást mutat, konkrétan a gyakoriság jól közelítéssel log10(1+1/d), ahol d a tekintett számjegy.

A fenti törvényszerűség Benford-törvény néven vált ismertté. Simon Newcomb amerikai csillagász és matematikus, aki Michaelson-al együtt megmérte a fény sebességét, 1981-ben észrevette, hogy a logaritmus táblázatok eleje elhasználódottabb, mint a végük. Ebből arra a következtetésre jutott, hogy az olvasók gyakrabban keresik ki 1,2,3-al kezdődő számok logaritmusát, mint 7,8,9-el kezdődő számokét. Később 1938-ban Frank Benford fizikus újra felfedezte a törvényt és húsz különböző adathalmazra tesztelte is az összefüggést.

Mindez nagyon érdekes, de használható is valamire? A meglepő az, hogy igen, mégpedig fontos dolgokra, általában csalások leleplezésére. Ha ugyanis valaki egy valódi adathalmaz helyett egy hamisat kreál, és nem ismeri a törvényt, akkor az felismerhető lesz a statisztika alapján. Ilyen rosszul kivitelezett könyvelési csalások a gazdasági életben mindennaposak, és ma már oktatják a Benford-törvényt, mint eszközt, ezen csalások leleplezéséhez. Nagyon beszédes például a görögök esete. Az EU-tagállamainak statisztikáit megvizsgálva kiderül, hogy a Benford-törvény teljesülésének mértéke alapján Görögország szerepel az utolsó helyen, és valószínűsíthető, hogy meghamisította az adatait.

Mit tanultunk tehát ebből? Praktikusan azt, hogyha könyvelési adatokat hamisítunk, akkor ne magunk találjuk ki az adatokat hasból, hanem bízzuk azt egy olyan véletlen szám generátorra, amely figyelembe veszi a szóban forgó adatok statisztikáját. De milyenek ezek a statisztikák, azaz mi kell ahhoz pontosan, hogy a Benford-törvény teljesüljön? És miért teljesül a Benford-törvény olyan sok adathalmazra? Ezekre a kérdésekre egyelőre még nem adtunk meg a választ, de következik majd a folytatásban...

A 30-as szabály

Akik karácsonykor nem állítottak karácsonyfát környezettudatossági vagy egyéb szempontok miatt, azoknak ajánlom szeretettel az alábbi fraktális pszeudo-random végtelen karácsonyfa imitációt. Természetesen fraktál generátorokkal ennél sokkal élethűbb fenyőfák is generálhatók, azonban az alábbi mintázat egy különösen egyszerű szabállyal adható meg, amit ugyanis az ábrán látunk az nem más, mint egy egyetlen sejtből kiinduló egydimenziós bináris sejtautomata időfejlődése.

De mik is azok a sejtautomaták? Az 1940-es években Neumann Jánost az a kérdés foglalkoztatta, hogy miféle logikai szerkezet szükséges egy olyan automatikus géphez, amely önmagát képes reprodukálni. Ennek kapcsán sikerült megalkotnia az első sejtautomatákat, és példát mutatott síkbeli önreprodukáló automatákra. Általában véve a sejtautomaták diszkrét dinamikus rendszerek, a sejtautomatát alkotó sejtek ugyanis diszkrét térben helyezkednek el, véges sok különböző állapotuk lehet, tehát diszkretizált az állapotterük, és a sejtek diszkrét időlépésekben szinkron módon frissülnek, azaz egyszerre változtatják az állapotukat a rendszer időfejlődése során. A sejtek valamilyen mozaikszerű elrendezésben találhatók, általában egy szabályos rácson helyezkednek el, amely lehet akár több dimenziós is. Egy sejt következő állapota mindig csak a szomszédai és önmaga aktuális állapotától függhet, vagyis nincsen távolhatás. A következő állapotot leíró ún. generációs vagy átmeneti szabályok alap esetben determinisztikusak, azaz nincsen bennük véletlen elem, és így teljes mértékeben ezek határozzák meg a sejtautomata dinamikáját.

A legismertebb sejtautomata a sokak által jól ismert életjáték, a legegyszerűbbek azonban az ún. elemi sejtautomaták. Egy elemi sejtautomata nem más, mint egy egydimenziós vonalba rendezett sejtsor kétállapotú sejtekkel, mely állapotokat élő és holt jelzővel szokás illetni. Az elemi sejtautomatákat könnyű számba venni, mert megadhatók a szabállyal, ami meghatározza, hogy mi lesz egy sejt állapota annak függvényében, hogy mi volt a bal- és jobboldali szomszédjának illetve önmagának az állapota az előző lépésben. Mivel mindhárom sejt állapota kétféle lehet, ezért összesen nyolc kombináció van, amire meg kell adnunk, hogy mi lesz a következő lépésben a középső sejt új állapota. Az új állapot is csak kétféle lehet, így a lehetséges szabályok száma 2^8 = 256. Ennek megfelelően az elemi sejtautomata megadható egy a szabályt kódoló bináris számmal, amint az illusztráló ábrán is látható. Ezt a sorszámot nevezzük a szóban forgó elemi sejtautomata Wolfram kódjának. Eszerint beszélünk tehát a 30-as szabályról, arról az elemi egydimenziós sejtautomatáról, amelynek Wolfram kódja 30.

A sejtautomaták dinamikai fejlődését tehát megadják az átmeneti szabályok, azonban a mintázatok kialakulásához egy kezdeti állapotot megadása is szükséges. A fenti karácsonyfa szerű ábrán a kezdeti állapot egyetlen élő sejt (fekete színnel jelölve) a sejtsorban, a fenyőfa csúcsa, és lefelé telik az idő, azaz minden egyes sor a sejtautomata következő állapotát mutatja. A legtöbb szabályról kiderül, hogy egészen egyszerű viselkedést mutatnak, akármilyen kezdő állapotból indítjuk a rendszert, rövid időn belül kialakul egy stabil konfiguráció, ami nem változik tovább, vagy valamilyen időben periódikusan ismétlődő mintázat alakul ki. A 30-as szabály sorszám szerint az első, ahol valami igazán meglepő viselkedést találunk. Ez a sejtautomata a Wolfram-féle osztályozás szerint 3-as osztályú, ami azt jelenti, hogy aperiodikus, kaotikus viselkedést mutat, mégpedig majdnem minden kezdeti állapotra, nem csak a fenti kezdőfeltétel esetén. Bár vannak benne struktúrák, de azok előfordulása látszólag véletlenszerűnek tűnik, aminek az az oka, hogy a mintákat szétzilálja a környező pszeudo-random zaj.

Ez az igen egyszerű sejtautomata megdöbbentő példa arra, hogy komplex, látszólag véletlenszerű mintázatokat egészen egyszerű és determinisztikus szabályok elő tudnak állítani. A természetben is megfigyelhetünk hasonló mintázatképződést, ahogyan az a Conus textile tengeri csiga faj házán is látható. A szabály igen egyszerű volta miatt gyakorlati haszna is van, meg lehet mutatni ugyanis, hogy a "karácsonyfa" középső oszlopa teljesíti az alapvető véletlenszám teszteket, ezért véletlenszám generátornak is használják, például a Wolfram által kifejlesztett Mathematica programcsomagban, és ebből kifolyólag kriptográfiai alkalmazásai is vannak.

Ui.: A pentagram táblás türelemjáték beküldési határideje karácsony volt. Két rendszeres olvasómtól is kaptam megoldásokat, mindketten számítógépes programmal oldották meg a feladatot, ugyanis rendelkezésükre állt olyan általuk már korábban kifejlesztett algoritmus, amellyel tetszőleges türelemjáték megoldható. Azt nagyon sajnálom, hogy mások nem foglalkoztak vele, mert számítógép nélkül is hamar lehetett volna megoldást találni. Már csak azért is, mert rengeteg megoldás van. Gál Péter az Ördöglakat blog szerkesztője az összes megoldást megadta, szimmetriáktól eltekintve közel 72 ezer megoldást. Az eredményekről később még részletesen írok, az új fejtörő feladvány pedig szilveszterkor kerül kitűzésre.

Kolmogorov, a matematikus óriás

Ezen a napon hunyt el a 20. század kimagasló matematikus óriása, Andrej Nyikolajevics Kolmogorov, aki idén lenne 111 éves. Szinte nincs a matematikának olyan területe, ahol ne alkotott volna maradandót és előremutatót, de munkássága kiterjedt a fizika számos területére, számítástudományra, geológiára, sőt még Puskin stílusjegyeinek elemzésével is foglalkozott. Egyik tanítványával, Vlagyimir Igorevics Arnolddal, feloldották Hilbert tizenharmadik problémáját. Tanítványa volt Rényi Alfréd is. Kolmogorov életművét fémjelzik a róla elnevezett fogalmak, mint például a valószínűségszámítás Kolmogorov-axiómái, Kolmogorov-féle valószínűségi mező, Kolmogorov-kiterjesztés, Chapman–Kolmogorov-egyenlet, Kolmogorov–Sinai-entrópia, Kolmogorov-komplexitás, Kolmogorov–Szmirnov-próba, Kolmogorov–Nagumo-tétel, Kolmogorov–Arnold–Moser-tétel (KAM-elmélet), turbulencia Kolmogorov-féle spektrális elmélete, nagy számok Kolmogorov-féle erős törvénye, csak hogy néhányat említsünk a teljeség igénye nélkül.

Kolmogorovot legtöbben a valószínűségszámítással kapcsolatban ismerik, teljes joggal, hiszen ő fektette le a biztos mértékelméleti alapokon nyugvó modern valószínűségszámítást. Szépen példázza a mértékelmélet jelentőségét, hogy konstruktívan képes feloldani olyan paradoxonokat, mint például az ún. Borel–Kolmogorov paradoxon. Képzeljük el, hogy egy véletlen pont egyenletes eloszlású egy gömb felszínén. Ha tudjuk, hogy a pont valamely főkörre esik, akkor azt gondolnánk, hogy a szimmetria miatt a megszorított (ún. feltételes) eloszlás is egyenletes a főkörön, akármelyik főkörről is legyen szó, függetlenül a választott paraméterezéstől. Az alábbi két megközelítés azonban eltérő eredményre vezet.

A gömb felszínén egyenletes eloszlású pont kiválasztása ekvivalens azzal, hogy választunk egy hosszúsági kört egyenletes eloszlással a [-π,π] intervallumból, majd a kiválasztott hosszúsági körön egy szélességet választunk a szélességi kör kerületével, azaz a szélesség koszinuszával arányos sűrűségfüggvénnyel. Eszerint viszont azt találjuk, hogy a feltételes eloszlások mások, nevezetesen egyenletes vagy koszinusszal arányos, attól függően, hogy mely főkörre kondicionálunk. A naív valószínűségszámítás válasza erre természetesen az, hogy a feltételes valószínűség nem értelmezhető zérus valószínűségű eseményekre kondicionálva, hiszen az nullával való osztást eredményez, azonban a mértékelmélet segítségével fel lehet oldani a paradoxont a fenti paraméterezésekre vonatkoztatva is.

Zárásként álljon itt Kolmogorovtól egy elgondolkodtató idézet a naplójából:

At a given moment there is only a fine layer between the 'trivial' and the impossible. Mathematical discoveries are made in this layer.

Leírhatatlanul nagy számok

Ma ünnepli a Google az egyik születésnapját, ugyanis tizenhét évvel ezelőtt ezen a napon jegyezték be a google.com domain nevet. A név a szóbeszéd szerint egy elírásnak az eredménye. Eredetileg az interneten kereshető információk roppant nagy számára akartak utalni, ezért a googolplex névben gondolkodtak, amit azonban túl hosszúnak tartott Larry Page, az egyik alapító, ezért végül a kisebb – tíznek a századik hatványát jelentő – googol elnevezést választották. A domain név regisztrációnál azonban véletlenül a google nevet gépelték be, mivel pedig szabad volt, és tetszett is nekik, végül ezt regisztrálták be.

Érdekes módon a googol elnevezés sem keletkezett kevésbé spontán módon. Edward Kasner amerikai matematikus kérésére a kilencéves unokaöccse adta ezt a nevet annak a számnak, amit egy egyes számjegy után száz darab nulla követ. Ezt a számot csupán szemléltetés céljából használta A matematika és a képzelet című könyvében, amint a googolplex elnevezésű számot is, amely számban az első egyes számjegyet googol darab nulla követi. Ennek a számnak az érdekessége, hogy ebben a formában lehetetlen lenne leírni, mert a látható univerzum ismert részecskéinek a száma is kisebb annál, mint ahány nulla követi az egyest, tehát a szám tízes számrendszerbeli alakjának leírására az sem volna elegendő, ha a az univerzum minden anyagát tintává változtatnánk, de még az se ha minden foton, ami a szemünkbe juthatott volna valaha jelentene egyetlen nullát.

Bár a googolplex nagy szám, de a hatványozás műveletének használatával könnyedén leírható, sőt a hatványozást tovább lehet folytatni, és a kitevőkből tornyot építve még nagyobb számokat lehet kreálni. Természetesen minden számnál lehet még nagyobbat elképzelni, azonban ilyen nagy számok használatára általában nincsen szükség. Az az érdekes azonban, hogy a matematikának van olyan területe, mégpedig a Ramsey-számok elmélete, ahol az említett számoknál még sokkal nagyobb számok is előkerülnek bizonyításokban. Az eddigi legnagyobb szám, amire szükség volt az ún. Graham-szám, aminek a definiálásához új jelöléseket kell bevezetni, de erről talán majd egy másik alkalommal…

A Rubik-kocka univerzuma

Idén ünneplik világszerte a Rubik-kocka feltalálásának 40. évfordulóját és Rubik Ernőt, aki a napokban töltötte be 70. életévét. A kockát eredetileg térgeometriai szemléltető eszköznek szánta az Iparművészeti Főiskola tanulóinak, egyáltalán nem sejtette, hogy világsikerű játék lesz belőle, melynek népszerűsége máig töretlen. Ehhez nyilván hozzájárult, hogy a kocka iparművészeti tárgy is egyben, amely bárkinek ott lehet a polcán vagy a zsebében anélkül, hogy birtokosa képes lenne a kockát kirakni. Az intelektus ikonikus szimbóluma, hiszen a kocka kirakását csak relatíve kevesen sajátítják el. Ha a kocka kirakását valaki saját maga akarja megoldani, akkor az komoly kombinációs és logikai készséget, térgeometriai látást és rendkívül nagy türelmet igényel. Első alkalommal Rubik Ernőnek is egy hónapba telt kiraknia találmányát. A kocka bonyolultságát mutatja lehetséges állapotainak csillagászati száma. Ez nem csak szójáték, ugyanis a kitekerhető állapotok száma több mint százmilliószorosa a galaxisunkban lévő csillagok becsült számánál. Ha ennyi Rubik-kockát szorosan egymás mellé raknánk, akkor a sor hatvanszor távolabb érne, mint a Napunkhoz legközelebb eső szomszédos csillag, ami több fényévnyi távolságra van. Ezek ismeretében talán nem véletlen, hogy Rubik Ernő tiszteletére aszteriodát is elneveztek a csillagászok.

De nézzük csak, hogyan lehet kiszámítani az kitekerhető állapotok számát. Ha valaki nem tudja tekergetéssel kirakni a kockát, egy kis csalással célt érhet anélkül is, hogy átragasztgatná a matricákat. A kockát ugyanis szét lehet szedni és újra összerakni. A szétszedés trükkje, hogy az egyik lapot félig el kell forgatni, és ezen a lapon az egyik élkockát kipattintani a helyéről, így feltárul a kocka belső szerkezete. Tekintsük először azt a kérdést, hogy a szétszedett kockát hányféle képpen lehet újra összerakni. Szétszedett állapotban látható, hogy a lapok közepén lévő elemek egymáshoz képest fixek, azokat egy kereszt tartja össze, tehát csak a sarok és él kockák visszarakásában van szabadságunk. A tizenkét kis élkockát 12! sorrendben rakhatjuk vissza, és mindegyiket kétféleképpen rakhatjuk be a kiszemelt helyre, ami 12!·2¹² lehetőség. Sarokkockákból nyolc darab van és minden egyes kis kockát három féle képpen forgathatunk, amikor egy kiszemelt sarokba rakunk, így a sarokkockákat 8!·3⁸ féle képpen rakhatjuk vissza. Mivel a sarkok és élek visszarakása egymástól függetlenül történhet így a lehetőségek száma összesen 12!·2¹²·8!·3⁸ = 519 024 039 293 878 272 000.

Igen ám, de aki rutinos kocka forgató, az tudhatja, hogy nem lehet akármit kirakni tekergetéssel. Akárhogyan is próbálkozunk, nem lehetséges elérni azt, hogy két elem kicserélődjön, miközben a többi elem változatlan helyen marad. Továbbá nem lehetséges egyetlen sarkot úgy elcsavarni, hogy közben a többi sarok változatlan helyen és állásban maradjon, és hasonló állítás igaz az élekre is. Az élekre vonatkozó állítás könnyen belátható, ha tekintjük a kocka felületének bal oldalon látható csíkos felosztását, és az élkockákra számokat írunk az ábrán látható módon. Tetszőleges lap elforgatása esetén a főpántokon lévő számok összege egész számmal változik, így nem lehetséges egyetlen élkocka megfordítása. A csúcsokra vonatkozó állításhoz tekintsük a jobboldali felosztást és számozást. Szintén könnyen belátható, hogy tetszőleges lap elforgatása egész számmal változtatja a főlapokon lévő számok összegét, míg egyetlen sarokkocka elforgatása tört számot változtat. A fenti állításoknak megfelelően a kocka összerakásánál az utolsó elemek helye és állása korlátozott, ha azt szeretnénk, hogy a kocka gyári állása kitekerhető legyen. Végeredményben a kocka variációs lehetőségeinek száma szétszedés nélkül 12!·2¹¹·8!·3⁷/2 = 43 252 003 274 489 856 000.

Dürer és a matematika

Éppen ötszáz éves Dürer egyik jól ismert szimbólumokkal teli alkotása a Melankólia I rézmetszet, melyen több dolog is utal Dürer matematika iránti érdekelődésére. Egyrészt a kép jobb fölső sarkában láthatunk egy bűvös négyzetet, az ún. Jupiter-négyzetet, melynek minden sorában, oszlopában és átlójában 34 a számok összege, de még a sarkok és a centrum összege is 34, továbbá a szemközti oldalfelező pontokat érintő négyzetekben lévő számok összzege is 34, sőt lóugrásban körbejárva a kerületen ugyancsak 34-et kapunk. Emellett a legalsó sorban lévő két kétjegyű számot összeolvasva megkapjuk a kép készítésének 1514-es dátumát és az alsó sor két szélének számait az ábécében elfoglalt sorszámuk szerint betűkre váltva kiolvashatjuk Albrecht Dürer monogramját. Ezen kívül láthatunk még a képen egy csonkolt kockát, amit Dürer-poliédernek szokás hívni.

Valójában Dürer esetében többről van szó, mint a matematika iránti érdeklődésről, Dürer ugyanis komolyan képezte magát matematikából. Amatőr matematikusnak számít, és 1925-ben megjelent poliéderekről szoló könyvében közölt egy érdekes sejtést, amit ma Dürer-sejtés néven ismerünk. A sejtés úgy szól, hogy minden poliédert fel lehet vágni az élei mentén úgy, hogy lapjai átfedés nélkül kiteríthetőek legyenek a síkban, egy összefüggő sokszöget képezve. Magyarul minden poliédert meg lehet hajtogatni egy papírlapból úgy, hogy csak az élek mentén kell ragasztani. A sejtésnek magyar vonatkozása is van, ugyanis 2004-ben a mindössze 13 éves Bezdek Dániel poliéderek egy nagyon speciális osztályára bebizonyította, hogy kiteríthetők. A sajtóban tévesen úgy terjedt el, hogy megoldotta a sejtést, a sejtés azonban máig megoldatlan annak ellenére, hogy nagyon egyszerűen hangzik, az elemi geometria témakörébe tartozik, azaz bárki által megértehtő és még gyakorlati jelentősége is van. További magyar vonatkozás Dürerrel kapcsolatban, hogy Dürer tiszteletére idehaza matematika versenyt is rendeznek.

Tudományos és ismeretterjesztő előadás sorozatok 2013/2014

Vége a nyári szünetnek, és hamarosan indulnak az érdekesebbnél érdekesebb tudományos és ismeretterjesztő előadássorozatok és szemináriumok. Az alábbiakban olyan mindenki által ingyenesen látogatható budapesti előadássorozatokat gyűjtöttem össze, amelyek rendszeresen megrendezésre kerülnek minden évben. A lista a tavalyi előadássorozatok alapján készült, ezért lehetséges, hogy idén lesznek eltérések, de folyamatosan frissítem az adatokat. A kiváló előadásokból a hét minden napjára jut valami, sőt az átfedő időpontok néha komoly dilemma elé állítják az embert, hogy melyik előadást részesítse előnyben. Ilyenkor az is mérvadó lehet, hogy helyenként teával és harapnivalóval is várnak a szervezők. A legtöbb előadás heti rendszerességű, de vannak köztük olyanok is, amelyek kétheti vagy havi rendszerességgel kerülnek megrendezésre. Ha az egeret az időpont fölé viszitek, akkor a rendszerességről és a helyszínről jelenik meg plusz információ. Ha azonban biztosat szeretnétek tudni a következő alkalomról és kíváncsiak vagytok az az aktuális előadás címére és az előadóra, akkor kattintsatok az előadáshoz tartozó linkre.

Hé 09:50-xx:xx  Corvinus Játékelméleti Szeminárium
Hé 14:15-15:45  EGRES szeminárium (D)
Hé 16:00-17:30  Ökológus Tea (B)

---

Ke 16:00-17:45  Fazekas előadás (C)
Ke 14:00-15:30  KRFT Tea (B)
Ke 15:00-16:00  CSCNS journal club (D)
Ke 17:30-xx:xx  Szkeptikus Klub (A)

---

Sz 11:00-12:00  Statisztikus fizika szemináriumok (D)
Sz 17:30-xx:xx  Matematikai Esték (A)

---

Cs 15:00-16:00  Ortvay Kollokvium (D)
Cs 16:30-18:00  LINK-szeminárium (AB)
Cs 17:00-xx:xx  Az atomoktól a csillagokig (C)
Cs 18:00-xx:xx  Bolyai Kollégiumi Estek
Cs 18:00-19:00  KEBEL evolúcióbiológiai előadások

---

Pé 14:00-xx:xx  ELTE kognitív péntek

Jelölések:

• (A) nem heti rendszerességű
• (B) teával és/vagy harapnivalóval
• (C) középiskolások számára is
• (D) szakmaibb jellegű

Akinek mindez nem elég, az kövesse az alábbi eseménynaptárakat, vagy iratkozzon fel valamelyik tudományterület hírlevelére. Lehetséges, hogy a fenti lista túlságosan is a saját érdeklődési körömet fedi le, de az alábbi források alapján értesülhettek még számotokra érdekes előadásokról. Ha pedig tudtok olyan előadássorozatról, amelyiknek a listán lenne a helye, akkor kérlek értesítsetek. Előre is köszönettel.

Eseménynaptárak:

• akadémiai eseménynaptár
• matematikus eseménynaptár
• fizikus eseménynaptár
• elméleti idegtudomány eseménynaptára

Hírlevelek:

• MTA hírlevél
• Rényi matematikus hírlevél
• Fizinfo fizikus hírlevél
• Ganglion idegtudományi hírlevél