Öntsünk ki egy doboz gombostűt a pi tiszteletére

Ma van a pi válágnapja. Nem tudom ki hogyan szokta ünnepelni, 1989 március 14-én Larry Shaw amerikai fizius néhány kollégájával körbe állt és pitét (angolul pie) evett a pi tiszteletére, azóta hagyománnyá vált a pi-ről való megemlékezés az évnek ezen a napján, amit a pi első három számjegye (3,14) jelöl ki. A pi jele egyébként a periféria (kerület) görög szó kezdőbetűjéből ered, értéke a kör kerülete és átmérője közötti arányt jelöli. A pi irracionális szám, azaz végtelen sok tizedes jegye van, és ezek nem ismétlődnek periodikusan. A pi értéke a gyakorlatban is fontos a kör kerületének és területének a számításához, ezért a pi értékének a közelítése már az ókorban is fontos volt. Az idők folyamán számtalan becslés született rá. A Bibliából például kiderül (Kir. 7:23), hogy annak idején a zsidók szimplán hárommal közelítették. De az is előfordult már, hogy a pi értékét törvényben határozták meg, például Kínában a Han-dinasztia alatt 3,1547 volt törvénybe foglalva. Manapság persze számítógépekkel több trillió jegyig kiszámolható a pi.

A pi becslése hagyományosan pi valódi értékének valamilyen közelítő számításából kapható, például a körvonal sokszögekkel való közelítéséből alsó és felső becsléseket lehet adni. Megemlékezés gyanánt én most egy, a hagyományostól gyökeresen eltérő, megközelítésről szeretnék írni, nevezetesen arról, hogy kilépve a tisztán matamatikai keretből, hogyan lehet a pi értékét kísérleti úton megállapítani, azaz megmérni, mégpedig a valószínűség-számítást is segítségül hívva. A módszer de Buffon gróftól származik 1777-ből, és Buffon-féle tűprobléma néven vált ismertté. Képzeljünk el egy hajópadlót, amely D szélességű és egymáshoz szorosan illeszkedő párhuzamosan futó hosszú deszkákkal van burkolva. Mi a valószínűsége annak, hogy leejtve egy L hosszúságú tűt a padlóra, az keresztezi valamelyik deszka szélét?

Feltéve, hogy L < D, továbbá hogy a tű véletlenszerűen esik le a padló bármely pontjára, és egyik irány sem kitüntetett, továbbá a tű ideálisan vékony, akkor a választ a geometriai valószínűség fogalmaival rövid számolás után meg lehet adni, és a keresett valószínűség értékére P = 2L/(Dπ) adódik, amiben érdekes módon szerepel a pi. Így tehát pi értékére statisztikai becslést adhatunk mérések alapján, ha sok tűt ejtünk le véletlenszerűen és egymástól függetlenül, majd megszámoljuk, hogy hányad részük keresztezte valamely deszka szélét. Az alábbi ábrán például 38mm hosszú tűket dobáltam a 65mm széles padlócsíkokra. Becsüljétek meg ez alapján a pi értékét! Ezzel a pár tucat tűvel a hiba mindössze másfél százalék. Minél több tűt használunk, annál jobb becslést kaphatunk, azonban fontos megjegyezni, hogy a mérésnek mindig lesz statisztikai hibája, hiszen a véletlen szerepet játszik a kapott eredményben.

Emlékezés Julesz Bélára

Éppen tíz éve annak, hogy az év utolsó napján elhunyt Julesz Béla a modern kísérleti látáskutatás megteremtője. Julesz radarmérnökként kezdte pályáját, majd az 1956-os forradalom idején feleségével az Egyesült Államokba emigrált, ahol a kísérleti pszichológia és az idegtudomány nemzetközi hírű kutatójává vált. Julesz az ún. random-pont sztereogramok megalkotója, amely később a közismert autosztereogramok alapjául szolgált. A képeslapokon is népszerű autosztereogram azonban nem csak érdekesség, az alapul szolgáló random-pont sztereogrammok ugyanis forradalmasították a mélységészlelés kutatási területét. A random-pontokból álló képpárok egyenként, sztereoszkóp nélkül nézve, pusztán értelmetlen ponthalmaznak tűnnek, a koherens háromdimenziós érzéklet azonban arra utal, hogy agyunk képes a két szembe érkező kép nagyon pontos egyeztetésére, és ehhez nincsen szükség a látás tudatos szintjeire, például alakfelismerésre, hanem a feldolgozás a látókéreg alacsonyabb neurális szintjén működik. Ezzel Julesz új szemléletmódot alapozott meg, mely az alapvető kódolási és információ-feldolgozási folyamatok formális megközelítését, valamint ezek neuronális magyarázatát helyezte előtérbe.

Julesz Béla 1959-ben fejlesztette ki a random-pont sztereogramot. Ennek lényege, hogy a számítógép segítségével generált random pontokból álló képpárok sztereoszkóp alatt egy háromdimenziós kép illúzióját keltetik. A random-pont módszert felhasználva 1979-ben Christopher Tyler, Julesz egyik tanítványa alkotta meg a valódi autosztereogramot, amely abban különbözik a többi sztereogramtól, hogy ezek egyetlen képből állnak, és sztereoszkóp nélkül, szabad szemmel keltik a mélység illúzióját. Az autosztereogramok tapétaszerűen ismétlődő mintázatokból állnak, melyeket a számítógép úgy illeszt egymás mellé, hogy megfelelő fókuszálási technikával láthatóvá válik a képben elrejtett háromdimenziós alakzat.

Bizonyára mindenki találkozott már ilyen ábrákkal, azonban nem biztos, hogy mindenkinek sikerült az illúziót megtapasztalnia. Bár az emberek nagyon kis százaléka nem képes erre, a legtöbben kis türelemmel elsajátíthatják a módszert, aminek a lényege a megfelelő fókuszálás. Többféle módon is lehet próbálkozni, az egyik lehetséges módszer az, hogy a képet monitoron nézve kb. egy arasznyira magunk elé tartjuk és meredten bámuljuk, úgymond bambulunk magunk elé, és igyekszünk nem a képre fókuszálni, hanem a kép síkja mögé. Azt is megtehetjük, hogy egészen közzel visszük a szemünket a kép síkjához, és lassan mozgatjuk hátrafele. Ne pislogjunk és ne pásztázzuk a képet, hanem csak bambuljunk magunk elé lehetőleg egy olyan pontra, ami nem készteti a figyelmünket kalandozásra. Addig kell bámulnunk, amíg azt tapasztaljuk, hogy a tapétamintát nem a kép síkjában, hanem mögötte látjuk. Úgy fogjuk tapasztalni, mintha egy üvegtömbbe vagy kristályba néznénk és a tapéta az tömb hátsó falán lenne. A képbe rejett háromdimenziós objektum a hátsó tapéta és a kép síkja között fog megjelenni, azonban ne kezdjük el rögtön keresni a tekintetünkkel a tapéta előtt, hanem egy kicsit bambuljuk még a tapétát és csak lassan szüntessük meg a bambulást, mert az illúziót kezdőként még könnyen elveszíthetjük. Ha megfelelően csináljuk, akkor a háromdimenziós tárgy, aminek a mibenlétét esetleg nem is sejtettük, megjelenik, és a tekintetünket már el is mozdíthatjuk, sőt egészen messze is eltávolodhatunk a monitortól. Olyan illúzióban lesz részünk, mintha egy hologramot látnánk, vagy a szokásos térhatást kölcsönző moziszemüvegen keresztül néznénk valamit. A döbbenetes azonban az, hogy mindezt a kép síkja mögött látjuk segédeszközök nélkül, azaz megszűnik számunkra a monitor, és a kép síkja mögött feltárul egy új dimenzió. Ez az illúzió minőségében más a szokványos optikai illúzióknál, amikor egy kép becsapja a méret, kontraszt vagy szín érzékelésünket, itt egy teljesen új térhstású objektum tárul fel előttünk.

Érdemes az interneten nézelődni autosztereogram galériákban, ahol szokás a kezdőknek könyebben felismerhető képeket közölni gyakorlásul. Az alábbi szilveszteri autosztereogrammal szeretnék mindenkinek boldog új évet kívánni! Kattintsatok a képre, hogy nagy felbontásban lássátok. Ha rögtön nem sikerül ne csüggedjetek, csak egy kis türelem a titka és koncentráció! Vigyázat, az autosztereogramok függőséget okoznak!

Felhasznált irodalom és további oldalajánló:

• Julesz Béla: Dialógusok az észlelésről
• Magyar Tudomány, 2004/3 399. old. (Megemlékezés)
• Természet Világa: Határvonalak mentén - Beszélgetés Kovács Ilonával
• Wikipédia: Autosztereogram (magyar)
• Wikipedia: Béla Julesz (angol)
• Magic Eye autosztereogram galéria
• on-line autosztereogram készítő