2018. május 30., szerda

Gyöngyszemek

1996-ban az akkori KöMaL elmúlt 100 éves történetéből a legszebb fizika példák megjelentek egy külön kötetben. Bár a könyv már csak antikváriumban fellelhető, mindenkinek csak ajánlani tudom, hogy vadásszon rá, mert ezek a példák tényleg gyöngyszemek. De mitől is nevezhetünk valamit gyöngyszemnek? Én azt gondolom a szép példák ismérve, hogy egyrészt maga a feladat egyszerűen hangzik, egyszerűen megfogalmazható, adott esetben akár azért, mert hétköznapi, életszerű. Másrészt a megoldása frappáns, vagyis a megoldás is egyszerű, csak a megfelelő eszközt, vagy még jobb, ha csupán megfelelő nézőpontot kell találni hozzá.

Egy ilyenre szeretnék példát is hozni. Bár a kötetben ez nem szerepel, de ha most jelenne meg szerintem minden bizonnyal belekerült volna, hiszen a megoldására tavaly, a KöMaL őszi ankétján, kiosztották a tavaly elhunyt Zawadowski Alfréd tiszteletére elnevezett díjat, amit a legszebb megoldásokért adományoznak. A szóban forgó P4910-es példa eredeti szövege így szól: Egy erdő belsejében a B pontból szeretnénk az A pontba eljutni. A fák között u sebességgel tudunk haladni tetszőleges irányban. Van azonban az erdőben egyetlen nyílegyenes és jól járható ösvény, amin ku (k > 1) sebességgel tudnánk haladni. Ez az ösvény elkerüli a B pontot, de átmegy az A ponton, és az AB egyenessel α szöget zár be. Milyen úton haladjunk, hogy a legrövidebb idő alatt jussunk el az A pontba?

Maga a hivatalos megfogalmazás egy kicsit formális, de egy teljesen hétköznapi szituációról van szó. Ugyanez a kérdés sok különböző helyzetben felmerülhet. Például a göröngyös mezőn mész toronyiránt, vagy inkább kimész az útra, ahol gyorsabban tudsz haladni? A magas hóban mész, vagy átvágsz a kitasposott ösvényre? Nyílegyenesen mész botorkálva a sötétben, vagy a kivilágított betonút felé veszed az irányt? A süppedős homokban haladsz a kerékpárral a legrövidebb úton a cél felé, vagy letérsz, hogy elérd a jobban járható földutat? Ezek olyan kérdések, amikre valóban hasznos tudni a választ, és mindig ott motoszkál a fejünkben a kétség, hogy melyik is a gyorsabb.

Első ránézésre ez egy számolós, különösebb kreativitást nem igénylő feladatnak tűnik. Amikor kitűztem, én magam sem gondoltam, hogy több frappáns megoldás is érkezni fog rá. Annak ellenére azonban, hogy egy kinematika példáról van szó, átfogalmazható optikai, sőt hangtani példának is, és az optika és hangtan jól ismert törvényei segítségével a megoldás könnyen adódik anélkül, hogy az ember a differenciálszámítás matematikai apparátusát kéne igénybe vegye. A megoldás tulajdonképpen adott, csak a nézőpontot kell megfelelően megválasztani, azaz a példát megfelelően átfogalmazni, és ez az igazi szépség benne. A legnagyobb felismerések, a megértés, és az új gondolatok mindig akkor jönnek létre, amikor egymástól távoli addig kapcsolatban nem lévő területek vagy fogalmak között teremtünk kapcsolatot.

Nézzük ezeket a frappáns megoldásokat, amik fizika feladattá alakítják ezt a geometriai problémát. Ha a legrövidebb idejű utat keressük, akkor adja magát, hogy az optikát hívjuk segítségül, hiszen a fény terjedését leíró Fermat-elv azt mondja, hogy a fény két pont között olyan útvonalon terjed, amely mentén a fényterjedés ideje a legkisebb a szomszédos, azaz a tényleges útvonaltól csak kicsit eltérő, útvonalak idejéhez képest. Tegyük fel, hogy az erdő ösvényen túli részében mindenhol ku sebességgel haladhatunk. Ez a feladaton nem változtat, hiszen ha már elértük az ösvényt, akkor azon egyenes úton haladva érünk leghamarább az A pontba, nem érdemes az erdőben görbe útvonalon haladni még akkor sem, ha az erdőben is tudunk olyan gyorsan haladni, mint az ösvényen. Ezen kívül tegyük fel, hogy az A pont egy hangyányival az ösvény túloldalára esik. Ebben az esetben feladatunk az alábbi kérdésnek felel meg az optika nyelvén. Milyen úton halad a fény az optikailag sűrűbb közeg B pontjából az optikailag ritkább közeg A pontjába, ha a két közeg határa az ösvény egyenese és a relatív törésmutató, azaz a fénysebességek aránya éppen k?

A B pontból kiinduló fénysugarak megtörését a közeghatáron a Snellius-Descartes törvény írja le, ami azt mondja, hogy a beesési és törési szögek szinuszainak aránya a relatív törésmutató. Jelen esetben a törési szög az ösvény túloldalán éppen derékszög kell legyen, mert tudjuk, hogy az ösvényen fog haladni a legrövidebb út. A törési törvényből tehát kiszámítható, hogy mi az a pont az ösvényen, ahol a megtört fénysugár épp az ösvénnyel párhuzamossá válik. Ha ennél a pontnál távolabb érné el a fény a közeghatárt, akkor ott már teljes visszaverődés történne. Az utunk ösvényig tartó erdőben haladó egyenes szakaszának az ösvénnyel bezárt phi szögére, az adódik, hogy a cos(phi) = 1/k egyenletet kell kielégítenie. Ha pedig netán az A pont a teljes visszaverődés ezen helyétől visszább lenne található, akkor végig az erdőben érdemes haladnunk.

Bár ez is szép megoldás volt, de a Zawadowski-díjat érő megoldás a hangtanra épít. Ez a megoldás Szakály Marcell fazekasos diáktól származik, aki a problémához fordítva állt hozzá, azaz az A pontból kereste a legrövidebb utat a B pontba. Ehhez elképzelte, hogy az A pontból egy hangforrás indul el és halad az ösvény mentén ku sebességgel, miközben folyamatosan hanghullámokat kelt, amik u sebességgel terjednek az erdőben. Az a kérdés, hogy hol helyezkednek el azok a pontok, amelyeket a hanghullámok elérnek a hullámforrás indulásától számított t idő alatt? A különböző helyekről különböző időpillanatokban kiinduló gömbhullámok (ill. síkban körök) egy kúpot, az ún. Mach-kúpot jelölik ki, aminek a fél nyílásszöge az ún. Mach-szög, ami állandó és értéke arcsin(1/k). Az idő múltával lesz egy olyan pillanat, amikor az egyre táguló Mach-kúp alkotója (vagyis a hullámfront) eléri a B pontot, ebből pedig megszerkeszthető a legrövidebb út is, ami az előző megoldással egyező végeredményre vezet. A fenti megoldások mindegyike megtalálható a KöMaL nyomtatott kiadásában.

2018. március 30., péntek

Húsvéti totó

1.)  Melyik kontinensen nem őshonos a nyúl?

1. Afrika

2. Ausztrália

X. Ázsia

2.)  Miből lett háziasítva a nyúl?

1. mezei nyúl

2. üregi nyúl

X. pocoknyúlfélék

3.)  Hány ujja van a nyúlnak?

1. négy

2. öt

X. hátsó lábain négy, melső lábakon öt

4.)  Mi a tojás régi neve?

1. csüd

2. kikiri

X. mony

5.)  A törpekolibriknek van a legkisebb tojásuk, a legnagyobb pedig a több mint 300 éve kihalt madagaszkári elefántmadárnak. Hányszor nagyobb ez utóbbi tojás magassága a kolibritojás magasságánál?

1. kb. 30

2. kb. 300

X. kb. 3000

6.)  Mi a tyúktojás keltetési hőmérséklete?

1. 35-36 fok

2. 37-38 fok

X. 39-40 fok

7.)  Mi az a húsvéti sibálás?

1. fiúk kocogtatós játéka az ajándékba kapott húsvéti tojásokkal

2. a lányok feldíszített fűzfaágakkal sorra járják a falut

X. lányok megvesszőzése/korbácsolása

8.)  Mi az az Ostara

1. kelta nyúlfejű lény

2. színes tojásokat tojó nyúllá változott madár kelta mesében

X. termékenység istennője a keltáknál

9.)  1997-ben az Egyházak Világtalálkozója megpróbált egységes módszert megállapítani a húsvét időpontjának meghatározásához. Hol volt a találkozó helyszíne?

1. Róma

2. Jeruzsálem

X. szíriai Aleppó

10.)  Hol vannak nagycsütörtökön a katolikus egyházmegye papjai?

1. Fényliturgiát tartanak

2. Krizmaszentelési misén

X. Körmeneten

11.)   Egy európai országban húsvéthétfő a móka, kikapcsolódás és a látványosság napja, ugyanis ekkor veszi kezdetét a tojásfogó verseny, mely abból áll, hogy a templom tornyából leeresztett, apró ejtőernyőkkel ellátott óriási papírtojásokat kell eltalálni. A játék során mindenkinek az aranytojás megkaparintására kell törekednie. Akinek ez sikerült, régebben 5000 micsoda ütötte a markát?

1. angol font

2. dán korona

X. belga frank

12.)  Hol örzik a torinói leplet?

1. Szent János-katedrális, Torino

2. Szent Péter-bazilika, Vatikán

X. chambéry-i Sainte-Chapelle várkápolna, Franciaország

13.)  Kinek a verséből való az idézet?

Tavasz, te cuppanásnyi szikra,
ha tappancsod a sárba lép,
vidorság száll a kis nyuszikra,
s megédesül a sárgarép’.

1. Romhányi József

2. Varró Dániel

X. Weöres Sándor

13+1.)  Legkésőbb egy évben április 25-én lehet húsvét. Ez akkor fordulhat elő, ha éppen egy holdtölte utáni napra esik a tavaszi napéjegyenlőség, így egy egész holdciklust meg kell várni. A telihold pedig amikor elérkezik végre, akkor éppen vasárnap van, így még egy hetet kell várni a húsvétig. Ilyen év volt: 1666, 1734, 1886, 1943. Mikor lesz legközelebb

1. 2022

2. 2038

X. 2059


 
 
 
táblázat utolsó előtti sora: tippek
táblázat legalsó sora: helyes válaszok

2018. február 25., vasárnap

Az időfaló

Nemrég újabb évvel lettem öregebb, de most legalább volt szerencsém látnom azt az őssáskát, ami megeszi az időt. Megállítani sajnos nem tudtam, de legalább gyönyörködhettem benne. A furcsa lény a világ minden bizonnyal legdrágább és legkülönlegesebb óraszerkezetének tetején eszi a perceket a cambridge-i Corpus Christi College épületének a járókelők által is megtekinthető részén.

Az egymillió font értékű órát John Taylor feltaláló, a Corpus Christi egykori hallgatója, tervezte és adományozta az intézetnek. Az órán öt éven keresztül dolgozott 200 szakember segítségével, mindeközben több szabadalom is beadásra került. Az átadásra 2008-ban került sor Stephen Hawking által, aki Az idő rövid története című könyv szerzője. Az átadás évében a Time Magazin az év legjobb találmányai közé is beválasztotta a Corpus Clock néven ismert órát.

John Taylor célja az volt, hogy érdekessé tegye az idő múlását. A 24 karátos arannyal futtatott óralap nem hagyományos számlap, a mutatók helyett pedig led fények járnak körbe, melyek a megfelelő óra, perc és másodperc helyén állnak meg. Az ijesztő sáskafigura az állkapcsát minden percben szétnyitja, majd az 59. másodpercre összecsapja, miközben rendszerint villog a szemeivel. Taylor azt is érzékeltetni akarta, hogy az idő relatív, ezért az óra néha lelassul vagy felgyorsul, akár egy perc késése is lehet, de ötpercenként korrekció történik, és ilyenkor az időfaló megrázza a lábát. Az órák múlását egyébként egy lánc koporsóba esése és a fedél lecsapódása jelzi.

Egyébként az óra eredetileg John Harrisonnak, a XVIII. század legnagyobb órásának állít emléket. Az órát a Harrison által feltalált grasshopper escapement ("sáskamű") nevű mechanikus billegő mozgatja, egy sáska lábaira emlékeztető alkatrész, amellyel három évszázaddal ezelőtt megoldotta, hogy az órák szinte súrlódásmentesen, állandó kenés nélkül működhessenek.

2018. január 30., kedd

Nyelvlapoc karkötők

Ötletes, esztétikus és olcsó. Gyerekeknek kiváló kézműves időtöltés, és kislányoknak szép ajándék. A nyelvlapocot, vagy spatulát 100 darabos csomagban gyógyszertárban be lehet szerezni, kb. 5 forintra jön ki darabja. Vízbe dobva őket negyed órán keresztül érdemes forralni és akkor kézzel könnyen hajlítható állapotba kerülnek. De azért csak lassan és fokozatosan hajlítgassuk ide-oda, hogy a rostok ne szakadjanak el. A karikába meghajlított spatulákat gyömöszüljük bele egy megfelelő méretű pohárba és hagyjuk legalább egy napot, hogy kiszáradjanak. Száradás után lehet festeni, akár lakkozni is őket. Ha nincs lakkozva, akkor utólag is rugalmas marad kicsit, így könnyen fel és le vehető.

2017. december 15., péntek

Pontverseny eredményhirdetés

Kedves fejtörők!

Eltelt az év, és eljött az eredményhirdetés ideje. Hálás köszönet mindenkinek, aki részt vett a fejtörő pontversenyben. Az eredmények megtekinthetők itt. A legkitartóbbak lényegében mind helyezést értek el. A nyeremények átadása végett a helyezettekkel személyesen veszem fel a kapcsolatot. Remélem érdekes és hasznos volt, nekem mindenképpen sokat jelentett. Ha nincs ez a fejtörő pontverseny, akkor most minden bizonnyal a Qubit-en sem indult volna el a heti rendszerességgel megjelenő Ész Ventura rovat, ami a pontverseny folytatásának tekinthető, nyitva egy nagyobb közönség felé. Akit továbbra is érdekelnek a fejtörők, azok olvassák az Ész Ventura feladványait hétfőnként és küldjék el ötleteiket. Ha tetszenek az új feladványok, osszátok meg másokkal is. Előre is hálás köszönet!

2017. november 15., szerda

Öt matematikus pizzát rendel

Öt matematikus megéhezett és pizzát rendelnek. Meg is érkezik a tökéletes kör alakú pizza, amit szeretnének úgy elosztani, hogy mindegyikük egyforma területű darab(okat) kapjon. Egy matematikus része tehát több darabból is állhat. A pizzát csupa egyenes vágással szeretnék felosztani. Két vágás ugye nem elég, mert azzal legfeljebb négy részre lehet szeletelni a pizzát. Viszont nem szeretnének több vágást ejteni, mint amennyit feltétlenül szükséges, ezért úgy egyeznek meg, hogy három egyenes vágással fogják felosztani, mégpedig úgy, hogy a vágások között nem mozgatják a pizza darabjait. Az első matematikus, azt mondja, hogy éhen fognak maradni, mert ezt nem is lehet megcsinálni. A második, azt mondja, hogy majd ő fölvágja, mert tükrözésektől és forgatásoktól eltekintve ezt úgyis csak egyetlen módon lehet megcsinálni. A harmadik, azt mondja, hogy ez nem igaz, több megoldás is létezik, majd ő felsorolja őket egyesével és utána választhatnak majd, hogy melyik szimpatikus közülük. A negyedik, azt mondja, hogy kötve hiszi, hogy egyesével fel tudná sorolni őket, mert végtelen sok megoldás létezik. Az ötödik, azt mondja, hogy szerinte senkinek sincs igaza. Kinek van igaza? Három verzióban lehet gondolkodni: (a) a vágásoknak végtelen hosszúaknak kell lenniük; (b) a vágásoknak lehet végpontja, de megszakítás nem lehet egy vágásban; (c) megszakítás is megengedett.