Paradox lottókombináció (megoldás)

Annipanni ezen a héten két szelvénnyel játszik a hatoslottón. Van egy szerencseszáma, amit mind a két szelvényén bejelöl, a többi száma viszont mind különböző. Minek van nagyobb esélye: annak, hogy lesz két hármas találata, ami előző héten például 2 x 1185 = 2370 forintot fizetett volna, vagy annak hogy lesz egy hármas és egy négyes találata, ami előző héten 1185 + 5595 = 6780 forintot ért volna?

Még tavaly áprilisban tűztem ki a paradox lottókombináció című feladványt, de sajnos a meghosszabított beküldési határidő ellenére sem érkezett egyetlen megoldás se azóta. A fenti rávezető feladatban konkrétan megadok egy olyan paradox lottókombinációt, amiről az eredeti feladatban szó volt. Ennek az átfogalmazott feladatnak a megoldását közlöm az alábbiakban, így aki szeretné saját maga kiszámolni, az ne olvassa tovább ezt a bejegyzést.

Megoldás: Természetesnek tűnik, hogy egy hármas és egy négyes találatnak kisebb legyen az esélye a két hármas találatnál, hiszen az előbbinek nagyobb a nyeremény értéke (6780 > 2370), azaz többet fizetnek érte, és azt várnánk, hogy minél nagyobb a találatokhoz tartozó nyereményösszeg, annál nehezebb eltalálni. A feladatban szereplő korlátozó tényezők mellett azonban az az érdekesség adódik, hogy a kétféle nyerő kombinációnak éppen azonos a valószínűsége. Ez azért lehetséges, mert jelentős megszorítást jelent, hogy két szelvényen is találatunk legyen, vagyis a szelvényeken elért találatok egymástól nem teljesen függetlenek. Konkrétan két hármas találatot úgy érhetünk el, ha kihúzzák a szerencseszámot, és még két-két számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 2)*(5 alatt a 2) = 10*10 = 100 kombináció, vagy úgy, ha nem húzzák ki a szerencseszámot, de kihúznak három-három számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 3)*(5 alatt a 3) = 10*10 = 100 lehetőség ugyancsak. Összesen tehát 200 kombinációban jöhet ki két hármas találat. Négyes találat azonban egy hármas találat melett csak úgy lehetséges, ha kijön a szerencseszám, mert a két szelvényen lennie kell közös találatnak, hiszen csak hat számot húznak. Tehát a szelvények maradék öt-öt számából 3-2 vagy 2-3 kell legyen a találati arány, ezek mindegyike megintcsak 10*10 = 100 lehetőség egyenként, mert öt alatt a kettő éppen annyi, mint öt alatt a három. Összesen tehát ez is 200 kombináció.

Update: Sajnos a fenti megoldás rossz, elnéztem, lásd Gyarmati Richárd megjegyzését a hozzászólások között!

Paradox lottó kombináció

Kitűzök egy új feladványt. Ha esetleg valakinek a drótvilágos feladványok kevéssé szimpatikusak, akkor is lesz min gondolkodni. Most bizonyára sokan lottóznak, hiszen minden idők harmadik legnagyobb ötöslottó nyereménye várja gazdáját, ezért aktuális lesz a kitűzött fejtörő, ami lottóval kapcsolatos.

A lottó játékok egyik alaptulajdonsága, hogy minél több számot találunk el egy szelvénnyel, annál nagyobb nyereményre számíthatunk. Ötöslottó esetében minimum kettő találat, hatoslottó esetén pedig minimum három találat szükséges ahhoz, hogy nyerjünk valamit. Elviekben előfordulhatna, hogy rengeteg embernek van négy találata, miközben alig van három találatos, ezért az osztozkodás miatt a négytalálatos szelvényekre kevesebbet fizetnek, mint a háromtalálatosokra, de a gyakorlatban ilyesmi szinte soha nem fordulhat elő. Tegyük fel ezért, a feladat kedvéért, hogy az egyes nyereményosztályok kifizetései a találatok számával szigorúan monoton nőnek, úgy ahogy az természetesen lenni szokott.

Ha egy szelvénnyel játszunk, akkor világos, hogy bármely két nyereményosztályt hasonlítjuk is össze, mindig kisebb az esélyünk a nagyobb összegre, mert több számot eltalálni nehezebb, azaz kisebb a valószínűsége. De mi a helyzet akkor, ha több szelvénnyel játszunk? Lehetséges-e úgy kitölteni szelvényeket, hogy legyen a nyereményosztályoknak két olyan kombinációja, amiket összehasonlítva a kisebb nyeremény összértékkel rendelkező kombináció valószínűsége kisebb, vagyis nagyobb a valószínűsége annak, hogy a többet fizető kombináció jön ki, mint az, hogy a kevesebbet fizető.

Természetesen van ilyen, ha például elég sok szelvényt töltünk ki megfelelő szisztémával (amiről a közösségi lottózással kapcsolatos cikkben már volt szó), akkor garantálható az, hogy biztosan legyen kéttalálatos szelvényünk az ötöslottón. Erre a kombinációra tehát érvényes lesz, hogy a kettes találatnak nagyobb a valószínűsége, mint annak, hogy egyetlen találatunk sincs, ami lehetetlen a szóban forgó kombináció esetén. De lehet-e hasonló paradox kombinációt létrehozni kevesebb szelvénnyel, mondjuk kettővel vagy hárommal? Ha nem lehet, akkor lehet-e olyant, ahol ha nem is fordulnak meg a valószínűségek, de egyenlőek a nyereményosztályok valamely két kombinációjára, annak ellenére, hogy az egyik kifizetés biztosan nagyobb?

Bármelyik kérdésre a válasz augusztus 20-ig beküldhető, a helyes megfejtést beküldők között pedig könyvjutalom kerül kisorsolásra. Ha addig megnyerem a főnyereményt, akkor a könyvjutalomnál nagyobb nyereményre is lehet számítani! Egyébként megengedett ötös- és hatoslottóban is gondolkodni. Ha valakinek esetleg nem teljesen világos a feladat, kérdezzen bátran a megjegyzéseknél. Sok szerencsét!

Megéri a közösségi lottózás, vagy sem?

A közösségi lottózással kapcsolatosan több téveszme is kering, ráadásul vannak társaságok, akik tudatosan félrevezető módon csalogatják az embereket, ezért érdemes kicsit jobban körüljárni a témát. A közösségi lottózás arról szól, hogy egyénenként ugyanannyi ráfordított pénzért egy közösség több szelvényt vásárol, így nagyobb eséllyel lehet találatuk, de az igazságos osztozkodás miatt a résztvevők nyereménye is kisebb lesz egy esetleges találat esetén. Fontos leszögezni, hogy matematikai értelemben az egységnyi költségre eső várható nyeremény ettől nem változik és a játék továbbra is negatív várható értékű. A várható érték persze nem mond sokat a játékról, hiszen aki lottózik, azt általában a főnyeremény motiválja.

Máris felmerül a kérdés, hogy a közösségi lottózással nem veszítjük-e el a játék lényegét, hiszen lemondunk a főnyeremény lehetőségéről és beérjük kevesebbel is. Logikusnak tűnik, hogy az irdatlan nagy főnyeremény helyett kevesebbel is megelégszünk, ha ezzel megnöveljük az esélyeinket. Ilyen nagy pénznyereménynél nem is annyira a konkrét összeg számít, hanem az, hogy mennyire változtatja meg az életünket a nyeremény, márpedig egy átlagember számára a főnyeremény fele is szinte ugyanakkora hatással lenne, mint a teljes nyeremény, így inkább érdemes a felére hajtani kétszer akkora eséllyel. Vagyis nem a pénzt, hanem annak a szubjektív hasznosságát érdemes nézni számunkra. Igen ám, de ha kisebb összeget szeretnénk nyerni nagyobb valószínűséggel, akkor lehet, hogy nem a lottó a megfelelő játék a számunkra.

Minden szerencsejáték arról szól, hogy valamekkora összeget nélkülözni tudunk és azt feláldozzuk egy nagyobb nyeremény reményében. A tőzsde is hasonlóan működik, aki nagyobb összeget kockáztat, az nagyobb nyereségre tehet szert, és persze többet is veszíthet. A közösségi lottózással lényegében a kockázatot csökkenthetjük az egyéni lottózáshoz képest. Lehetséges azonban, hogy más módon esetleg azonos mennyiségű pénz ráfordításával nagyobb valószínűséggel érhetnénk el ugyanakkora nyereményt. A nagyobb nyerési eséllyel kecsegtető, de a lottó főnyereményekhez képest általában kisebb nyereményeket ajánló szerencsejátékok tipikus példái a sorsjegyek.

Nézzünk egy példát. A legnagyobb főnyereménnyel kecsegtető sorsjegy ára 1000 forint, 50 millió a főnyeremény, amelynek az esélye 1:2500000-höz, vagyis két és fél millió sorsjegy között egy ilyen van. Ez a pénznyeremény már azon a határon van, amire mondhatjuk, hogy megváltoztatja egy átlagember életét, így érdemes összehasonlítanunk a közösségi lottóval. Tegyük fel, hogy egy ilyen sorsjegy árának megfelelő pénzösszeggel beszállunk egy olyan közösségi lottózásba, ahol a részesedésünk pont 50 millió lenne a főnyereményből. Nem mindegy persze hogy mikor játszunk, mert a lottón halmozódik a nyeremény. Ha a cikk írásakor érvényes több mint két és fél milliárdos hatalmas főnyereménnyel számolunk, akkor 233 szelvénnyel játszhatna a közösség, hogy ránk 50 millió jusson a főnyereményből, feltéve, hogy mással nem kell osztozkodni, vagyis csak egy telitalálatos lenne. Ilyen sok szelvénnyel 13-szor nagyobb lenne az esélyünk a telitalálatra, mint sorsjeggyel az ugyanakkora összegű főnyereményre. Ha azonban egy halmozódás nélküli tipikus ötöslottó főnyereménnyel számolunk, ami körülbelül 80 millió forint, akkor már a sorsjegy lesz a kedvezőbb, mert a közösségi lottóra csupán 1:6200000 a főnyeremény találati aránya.

A fentiek alapján világos, hogy a közösségi lottózás csak akkor előnyös például a sorsjegyekhez képest, amikor már régóta halmozódik a nyeremény. Továbbá csak úgy érdemes játszani, hogy a főnyereményből ránk eső rész nagysága még mindig akkora legyen, ami az életünket jelentősen befolyásolja, ez pedig csak régóta halmozott több milliárdos főnyeremények esetén teljesül úgy, hogy közben a találati valószínűséget is jelentősen tudjuk növelni. Tehát a közösségi lottózás relatíve jobb lehet az egyéninél, de a sorsjegyekhez képest nézve csak akkor éri meg, amikor régóta halmozott milliárdos nyeremény van kilátásban.

Akik a közösségi lottót hirdetik, azok általában arra bíztatnak, hogy hosszú távon megéri a közösségi lottózás, ami tehát több szempontból sem igaz. Olyant is lehet például olvasni, hogy már viszonylag alacsony létszám mellett is folyamatos, heti bevétel biztosított, csak elfelejtik hozzátenni, hogy a kiadás átlagosan jóval nagyobb, mint a bevétel, vagyis hosszú távon nem éri meg, mert ugyanúgy negatív a várható érték, mint egyébként. Más helyen azzal csábítanak, hogy egy szuper 102 szelvényből álló kombinációval játszanak, és így biztos a kettes találat. Ez igaz is, de reklámnak elég rossz azt hangoztatni, hogy játszunk közösen 22950 forint értékben lottót, mert így biztosan lesz egy kettes találatunk, ami nagyjából 1500 forint, amit aztán eloszthatunk 102 részre. És akkor nem beszéltem arról, hogy olyan közösség is van, amelyik a közösségi lottózást piramisjátékként működteti, vagyis nem részarányosan történik a kifizetés, hanem annak függvényében, hogy hány embert szervezel be. Remélem nem kell mondanom, hogy ettől mindenképpen tartsa mindenki távol magát.

Végezetül a kritika ellenére hadd mondjak még néhány érvet a közösségi lottózás mellett. A kisebb találatok összegeit vissza lehet forgatni, és erre is érvényes, hogy érdemes ezt olyankor, amikor nagy a halmozott nyeremény, tehát azonnal, feltéve hogy nem vitték még el a főnyereményt. A sok szelvénynek az is előnye továbbá, hogy nagyobb összegű játék esetén jogosultak vagyunk számhúzónak jelentkezni, és az további nyerési lehetőségekkel kecsegtet. A legnagyobb érv azonban arra, hogy ne egyénileg játszunk, ha már lottózunk, hogy a statisztikák szerint akik megnyerték a főnyereményt, szinte kivétel nélkül képtelenek voltak pszichésen feldolgozni és pláne nem tudták a pénzüket kezelni, ami nem csoda azoktól, akik lottóznak. Így ezeknek a nyerteseknek a többsége néhány éven belül elköltötte az összes pénzét, sőt adóságba keveredtek.

Milyen számokkal (ne) játszunk a lottón?

Az ötöslottó várható főnyereménye átlépte a bűvös kétmilliárd forintos határt, így most biztosan nagyon sokan lottóznak. A bejegyzés címe kétértelmű, egyrészt sugallja azt, hogy nem érdemes lottón játszani, ugyanis a lottó egy olyan szerencsejáték, amelyben tipikusan negatív a nyereményünk statisztikusan várható átlagos értéke. Másrészt a cím arra is utal, hogyha mégis lottóznánk, akkor milyen számokkal érdemes játszani, pontosabban szólva, milyen számokat érdemes elkerülni. Mivel a nyertes számokat lehetetlen előre megjósolni, ezért első olvasatra talán ellentmondásosnak tűnhet az állítás, miszerint nem mindegy az, hogy milyen számokkal játszunk. Ennek ellenére nem valami ezoterikus hablaty, se nem babonás számmisztika, hanem mindenki számára érthető egyszerű matek következik. Az alábbiakban az ötöslottóról lesz szó, de a leírtak nagy része más lottókra is érvényes.

Érdemes lenne beszélni arról is, hogy pontosan mennyi a nyeremény statisztikusan várható értéke, és az valóban minden esetben negatív-e? Hiszen a Szerencsejáték Zrt. nyilvánvalóan nem könyvel el veszteséged, de a nyeremények halmozódása miatt a korábbi játékosok veszteségei mégiscsak növelhetik a későbbi játékosok nyereményeinek várható értékét. Ez azonban sokmindentől függ, hiszen a nyeremények növekedésével a játékososk száma is egyre növekszik, és ezzel együtt a találatok száma és az osztozkodás mértéke. Most azonban a várható értékről nem szeretnék bővebben értekezni, az ugyanis csupán egy fiktív matematikai fogalom, amely nem jellemezi jól a lottó esetében érvényes találati valószínűségek diszkrét és szélsőséges eloszlását. Ez körülbelül olyan hasznavehetetlen, mint amikor azt mondjuk, hogy egy dobókockával dobva a dobásunk várható értéke három és fél. Ráadásul a lottózásnak pszichés vonatkozásai is vannak, az emberek például jobban érezhetik magukat, ha tudják azt, hogy esélyt adtak egy nagy lehetőségeknek, arról nem is beszélve, hogy élete végéig rosszul érezné magát az, akinek kihúznák a születési dátumát, amit nem játszott meg. Ezért én az alábbiakban nem azt vizsgálom, hogy érdemes-e lottózni matematikai szempontból, hanem azt, hogyha lottózunk, akkor milyen számokkal érdemes játszani.

Mint ismeretes, amikor a nyertes számokat többen is megjátszák, akkor osztozás van. Mivel minden számkombinációnak teljesen azonos az esélye, így a megjátszandó számkombináció kiválasztásával csak és kizárólag arra kell törekednünk, hogy olyan számokat illetve kombinációkat játszunk meg, amikkel mások nagy valószínűséggel nem játszanak. Ezt követve a találati esélyünk ugynakkora lesz, mint bármilyen más kombinációval, viszont a várható nyereményünk nagyobb lesz, mert az osztozás valószínűsége kisebb. Józan ésszel is belátható, de számos statisztikai is bizonyítja, hogy sokan ismert szerencseszámokat, évszámokat és születési dátumokat játszanak meg, ezeket nekünk kerülnünk kell. Talán furcsának tűnhet, de az egyik leggyakoribb kombináció az 1-2-3-4-5, ugyanis sokan megrekednek a gondolkodásnak azon a szintjén, hogy mindennek azonos a valószínűsége, ezért teljesen mindegy, hogy mivel játszanak. A másik véglet az, hogy kicsit tovább gondolkodnak, és megteszik a 86-87-88-89-90 kombinációt. Ha azonban ezek valamelyikét kihúznák, a nyertesek igen nagyot csalódnának.

Na jó, de akkor hogyan kell játszani? Tegyük fel hogy ismerjük az emberek által megjátszott számok statisztikáját, azaz tudjuk mely számok a legnépszerűbbek, és melyeket szokták ritkán megjátszani. Ha megtesszük az öt legkevésbé népszerű számot, akkor rosszul járunk, mert elképzelhető, hogy más is pontosan ugyanígy gondolkodott. Viszont fontos, hogy népszerűtlen számokat tegyünk meg, mert egyébként osztoszkodnunk kell. Tehát vagy a népszerűtlen számok egy nagyobb csoportjából választunk ki ötöt, vagy négy népszerűtlen szám mellé választunk egy népszerűt. Egynél több népszerűt nem érdemes, mert nem csak a telitalálatos, de a kettes, hármas és négyes találatok esetében is osztozni kell, és népszerű számok esetén azoknál is kisebb lesz a nyeremény. Amire még figyelni kell, hogy kerüljük a lottószelvényen a geometriai formákat, mert sokan mintázatok szerint töltik ki a szelvényeiket.

Mostmár az elveket ismerjük, de honnan vegyük a számok népszerűségi statisztikáját? A legjobb statisztika a Szerencsejáték Zrt. birtokában van, de azt nem hozza nyilvánosságra. Néhány évvel ezelőtt még elérhető volt egy program, amelynek az adatbázisában több millió valódi szelvény szerepelt, de a program már nem elérhető. Megelégedhetünk azzal, hogy józan paraszti eszünkkel kizárjuk a leggyakoribbnak ítélt számokat, esetleg nekiállhatunk saját statisztikát készíteni, például úgy, hogy kiürítjük néhány lottózónak a kukáját és összeszedjük a kidobott szelvényeket. A harmadik lehetőség, hogy közelítő statisztikát használunk nyilvános adatok alaján. Ezt az utóbbi trükkös módszert ismertetem az alábbiakban.

Az ötöslottó nyerőszámai 1957-ig visszamenőleg megtalálhatók az interneten. 1998-ig visszamenőleg pedig az is fel van tüntetve, hogy mikor hány találat volt, és melyik mennyit fizetett. Ha tekintjük mondjuk a kettes találatokat, akkor a találatok száma és a kifizetett összeg hétről-hétre ingadozik. Ennek az ingadozásnak az egyik oka abban rejlik, hogy amikor népszerű számokat húznak ki, akkor sok a találat, ellenkező esetben meg kevés. Természetesen a játékosok száma is számít, de az nem szokott hétről-hétre ingadozni, csak telitalálat után szokott jelentősen csökkenni. Ha tehát összegyűjtjük azokat számokat, amiket akkor húztak ki, amikor sok volt a kettes találat, akkor ezek között nagyobb valószínűséggel találunk majd népszerű számokat.

1998-ig visszamenőleg közel kilencszáz hét kihúzott számait sorbarendeztem a kéttalálatos szelvények száma szerint. A lista elején lévő első kétszáz számaiból hisztogramot készítettem, amely az alábbi módon néz ki. A hisztogram azt mutatja, balról jobbra 1-től 90-ig, hogy az egyes számok milyen gyakoriak voltak az említett adatsorban. Minél nagyobb az oszlop, annál gyakrabban fordult elő az oszlopnak megfelelő szám.

A hisztogramot, ha messziről nézzük, jól látható, hogy az alacsonyabb értékű számok jóval gyakoribbak, ami a dátumok alapján (hónap és nap) várható. Egyébként elég jelentős az ingadozás, hiszen némelyik szám gyakorisága akár kétszerese a mellette lévőnek. Egyes értékek kiugrása is jól látható, mint például a szerencsétlen 13-as, vagy a 19-es szám, amivel évszámok kezdődnek, illetve a 49-es és 56-os évszámok a történelmünkből, vagy a közkedvelt 33-as, vagy 69-es. A hisztogram természetesen nem egyezik meg a pontos eloszlással, de a tendenciát mutatja. És ne feledkezzünk meg arról sem, hogy a statisztikus ingadozáshoz az is hozzájárul, hogy sokan gépi véletlen számokkal játszanak, így a játékosoknak csak egy részétől várjuk a népszerű számok használatát.

Végeredményben, hogy ki milyen számokkal játszik, az mindenkinek a saját döntése. Nyilvánvalóan egész életében ostorozná magát az, akinek mondjuk kihúznák a születési dátumát és gyermeke életkorát, de nem azokkal a számokkal játszott volna, hanem az én tanácsomra hallgat és holmi statisztikai alapon teszi meg a tippjeit. Ha azonban valakinek nincsenek preferált szerencseszámai és nem babonás, vagy több szelvénnyel is játszik, akkor talán megfontolandók a fenti tanácsok és az átlagos várható nyeremény szempontjából talán még a gépi véletlen játéknál is optimálisabb kombinációt játszhat meg az illető.

Ha érdekesnek találtad a cikket, akkor olvasd el a többi lottóval kapcsolatos cikkemet is a lottó címkére kattintva.