Annipanni ezen a héten két szelvénnyel játszik a hatoslottón. Van egy szerencseszáma, amit mind a két szelvényén bejelöl, a többi száma viszont mind különböző. Minek van nagyobb esélye: annak, hogy lesz két hármas találata, ami előző héten például 2 x 1185 = 2370 forintot fizetett volna, vagy annak hogy lesz egy hármas és egy négyes találata, ami előző héten 1185 + 5595 = 6780 forintot ért volna?
Még tavaly áprilisban tűztem ki a paradox lottókombináció című feladványt, de sajnos a meghosszabított beküldési határidő ellenére sem érkezett egyetlen megoldás se azóta. A fenti rávezető feladatban konkrétan megadok egy olyan paradox lottókombinációt, amiről az eredeti feladatban szó volt. Ennek az átfogalmazott feladatnak a megoldását közlöm az alábbiakban, így aki szeretné saját maga kiszámolni, az ne olvassa tovább ezt a bejegyzést.
Megoldás: Természetesnek tűnik, hogy egy hármas és egy négyes találatnak kisebb legyen az esélye a két hármas találatnál, hiszen az előbbinek nagyobb a nyeremény értéke (6780 > 2370), azaz többet fizetnek érte, és azt várnánk, hogy minél nagyobb a találatokhoz tartozó nyereményösszeg, annál nehezebb eltalálni. A feladatban szereplő korlátozó tényezők mellett azonban az az érdekesség adódik, hogy a kétféle nyerő kombinációnak éppen azonos a valószínűsége. Ez azért lehetséges, mert jelentős megszorítást jelent, hogy két szelvényen is találatunk legyen, vagyis a szelvényeken elért találatok egymástól nem teljesen függetlenek. Konkrétan két hármas találatot úgy érhetünk el, ha kihúzzák a szerencseszámot, és még két-két számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 2)*(5 alatt a 2) = 10*10 = 100 kombináció, vagy úgy, ha nem húzzák ki a szerencseszámot, de kihúznak három-három számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 3)*(5 alatt a 3) = 10*10 = 100 lehetőség ugyancsak. Összesen tehát 200 kombinációban jöhet ki két hármas találat. Négyes találat azonban egy hármas találat melett csak úgy lehetséges, ha kijön a szerencseszám, mert a két szelvényen lennie kell közös találatnak, hiszen csak hat számot húznak. Tehát a szelvények maradék öt-öt számából 3-2 vagy 2-3 kell legyen a találati arány, ezek mindegyike megintcsak 10*10 = 100 lehetőség egyenként, mert öt alatt a kettő éppen annyi, mint öt alatt a három. Összesen tehát ez is 200 kombináció.
Update: Sajnos a fenti megoldás rossz, elnéztem, lásd Gyarmati Richárd megjegyzését a hozzászólások között!
Azert nem erkezett megoldas, mert azt hittuk, hogy csak EGY nyeremenyosztalyrol van szo, nem pedig tobbnek a kombinaciojarol. Igy a feladat trivialis, nem is kell szamolni. Ha Annipanni uazt az 5 szamot jatsza meg 2x, akkor nagyobb az eselye ket 5osre, mint egy 5osre es egy 4esre. De ha nem lehet uazt, akkor is lehet, hogy a ket szelvenyen pl 4 szam egyezik, ekkor nagyobb az eselye egy 5osre es egy 4esre, mint egy 5osre es egy 3asra.
VálaszTörlésValóban nem fogalmaztam elég precízen ahhoz, hogy ezt a triviális megoldást kizárjam. Viszont az eredeti feladat egy életszerű paradoxont próbált szöveges matematikai formába önteni. Ezt figyelembe véve a fenti triviális megoldás azért nem túl érdekes, mert egyrészt az ötös találat speciális abból a szempontból, hogy a legtöbb esetben két ötös találat ugyanannyit fizet, mint egy ötös találat, de legalábbis jelentősen függ a többi játékostól a kifizetés, nem úgy, mint a kisebb találatok esetén. Én a feladatban fix nyereményekről beszéltem, ami az ötösre nem igaz stabilan, ezért azt valóban ki kell zárni. Másrészt praktikusan egy ötös mellett minden más nyeremény eltörpül :) Szóval a kérdés az, hogy tudsz-e triviális példát ötös találat nélkül? Vagy hatos nélkül a hatoslottón?
VálaszTörlésPersze, ugyanaz: Ha ket szelvenyen 4 szam egyezik, ekkor nagyobb az esely ket 4esre (vagy egy 4esre es egy 3asra), mint egy 4esre es egy semmire (aminek az eselye is semmi).
VálaszTörlésA semmi alatt mit értesz? Mert a hatos lottón csak hármas találattól van nyeremény, szóval a kettes találat valójában semminek számít, és annak van esélye.
VálaszTörlésSajnos hibás a levezetés. Annak a valószínűsége nagyobb, hogy két hármas találatunk lesz. A cikk írója ugyanis nem vette figyelembe azt, hogy az utolsó golyót többféleképp is kiválaszthatjuk abban az esetben, amikor a szerencseszámunkat kihúzzák és két hármas találatunk lesz.
VálaszTörlésJavítva a megfelelő sort: két hármas találatot úgy érhetünk el, ha kihúzzák a szerencseszámot, és még két-két számot mindkét szelvény maradék öt számából, illetve még egyet a maradék 34 szám közül, ami (5 alatt a 2)*(5 alatt a 2)*34 = 10*10*34 = 3400 kombináció.
A leírás többi része helyes. Viszont így összesen 3500 lehetőség adódik a két hármas találatra, 200 pedig a hármas + négyes kombóra. Tehát nem igaz, hogy a két valószínűség egyenlő. Nagyobb eséllyel lesz két hármasunk, várakozásainknak megfelelően.
Igen, sajnos ezt benéztem. Mostmár értem, hogy a KöMaL-ban miért nem jelent meg :)
VálaszTörlés