2016. március 15., kedd

Paradox lottókombináció (megoldás)

Annipanni ezen a héten két szelvénnyel játszik a hatoslottón. Van egy szerencseszáma, amit mind a két szelvényén bejelöl, a többi száma viszont mind különböző. Minek van nagyobb esélye: annak, hogy lesz két hármas találata, ami előző héten például 2 x 1185 = 2370 forintot fizetett volna, vagy annak hogy lesz egy hármas és egy négyes találata, ami előző héten 1185 + 5595 = 6780 forintot ért volna?

Még tavaly áprilisban tűztem ki a paradox lottókombináció című feladványt, de sajnos a meghosszabított beküldési határidő ellenére sem érkezett egyetlen megoldás se azóta. A fenti rávezető feladatban konkrétan megadok egy olyan paradox lottókombinációt, amiről az eredeti feladatban szó volt. Ennek az átfogalmazott feladatnak a megoldását közlöm az alábbiakban, így aki szeretné saját maga kiszámolni, az ne olvassa tovább ezt a bejegyzést.

Megoldás: Természetesnek tűnik, hogy egy hármas és egy négyes találatnak kisebb legyen az esélye a két hármas találatnál, hiszen az előbbinek nagyobb a nyeremény értéke (6780 > 2370), azaz többet fizetnek érte, és azt várnánk, hogy minél nagyobb a találatokhoz tartozó nyereményösszeg, annál nehezebb eltalálni. A feladatban szereplő korlátozó tényezők mellett azonban az az érdekesség adódik, hogy a kétféle nyerő kombinációnak éppen azonos a valószínűsége. Ez azért lehetséges, mert jelentős megszorítást jelent, hogy két szelvényen is találatunk legyen, vagyis a szelvényeken elért találatok egymástól nem teljesen függetlenek. Konkrétan két hármas találatot úgy érhetünk el, ha kihúzzák a szerencseszámot, és még két-két számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 2)*(5 alatt a 2) = 10*10 = 100 kombináció, vagy úgy, ha nem húzzák ki a szerencseszámot, de kihúznak három-három számot mindkét szelvény maradék öt számából, ami (5 alatt a 3)*(5 alatt a 3) = 10*10 = 100 lehetőség ugyancsak. Összesen tehát 200 kombinációban jöhet ki két hármas találat. Négyes találat azonban egy hármas találat melett csak úgy lehetséges, ha kijön a szerencseszám, mert a két szelvényen lennie kell közös találatnak, hiszen csak hat számot húznak. Tehát a szelvények maradék öt-öt számából 3-2 vagy 2-3 kell legyen a találati arány, ezek mindegyike megintcsak 10*10 = 100 lehetőség egyenként, mert öt alatt a kettő éppen annyi, mint öt alatt a három. Összesen tehát ez is 200 kombináció.

3 megjegyzés:

  1. Azert nem erkezett megoldas, mert azt hittuk, hogy csak EGY nyeremenyosztalyrol van szo, nem pedig tobbnek a kombinaciojarol. Igy a feladat trivialis, nem is kell szamolni. Ha Annipanni uazt az 5 szamot jatsza meg 2x, akkor nagyobb az eselye ket 5osre, mint egy 5osre es egy 4esre. De ha nem lehet uazt, akkor is lehet, hogy a ket szelvenyen pl 4 szam egyezik, ekkor nagyobb az eselye egy 5osre es egy 4esre, mint egy 5osre es egy 3asra.

    VálaszTörlés
  2. Valóban nem fogalmaztam elég precízen ahhoz, hogy ezt a triviális megoldást kizárjam. Viszont az eredeti feladat egy életszerű paradoxont próbált szöveges matematikai formába önteni. Ezt figyelembe véve a fenti triviális megoldás azért nem túl érdekes, mert egyrészt az ötös találat speciális abból a szempontból, hogy a legtöbb esetben két ötös találat ugyanannyit fizet, mint egy ötös találat, de legalábbis jelentősen függ a többi játékostól a kifizetés, nem úgy, mint a kisebb találatok esetén. Én a feladatban fix nyereményekről beszéltem, ami az ötösre nem igaz stabilan, ezért azt valóban ki kell zárni. Másrészt praktikusan egy ötös mellett minden más nyeremény eltörpül :) Szóval a kérdés az, hogy tudsz-e triviális példát ötös találat nélkül? Vagy hatos nélkül a hatoslottón?

    VálaszTörlés
  3. Persze, ugyanaz: Ha ket szelvenyen 4 szam egyezik, ekkor nagyobb az esely ket 4esre (vagy egy 4esre es egy 3asra), mint egy 4esre es egy semmire (aminek az eselye is semmi).

    VálaszTörlés