2016. április 25., hétfő

Gyurmaparadoxon, avagy játékos topológia

A topológia a matematikának egy olyan részterülete amely az alakzatoknak folytonos transzformációk során megmaradó tulajdonságaival, ún. topológikus invariánsokkal foglalkozik. Ilyen folytonos deformációk körébe tartozik például a kicsinyítés, nagyítás, az alakzat tetszőleges részének nyújtása, csavarása, viszont nem megengedett az alakzatot kilyukasztani, elszakítani, vagy távoli pontjait összeragasztani, stb. Képzeljük azt, hogy az alakzat gumiból vagy gyurmából van és tetszőlegesen deformálhatjuk úgy, hogy a közeli pontok (gumi- vagy gyurmarészecskék) mindvégig közeli pontok maradjanak.

Ha két alakzat egymásba áttranszformálható ilyen módon, akkor topológikusan ekvivalensnek tekinti őket a topológus. Például egy bögre és egy középen lyukas fánk ugyanaz a topológiai alakzat, mert mindkettőn pontosan egy lyuk van: a bögrének a füle alkot egy zárt hurkot, ami egy lyuknak felel meg. A lyukak száma tehát egy invariáns tulajdonság, folytonos deformációk során nem keletkezhet új lyuk és nem is tűnhet el. De ha két alakzat lyukainak száma megegyező, abból még nem következik, hogy topológikusan ekvivalensek, például nem mindegy, hogy a lyukak különállóak, vagy úgy egymásba hurkolódnak, hogy nem lehet őket kibogozni. Azt sem mindig könnyű belátni, hogy két alakzat topológikusan különbözik, gyakran produkál a topológia érdekes meglepetéseket, amikor két alakzat lényegesen különbözőnek tűnik, mégis topológikusan ekvivalensek. Erre egy nagyon szép példa az alábbi, amit gyurmával és két gumikarikával mutatunk be. A képsor végigvezet minket a folytonos deformációkon, az kiindulási állapot azonban egészen másnak tűnik, mint amit az utolsó képen látunk.

A következő sorsolásos nyereményjáték találós kérdése az alábbi, amire a választ bizonyítással együtt július 4-ig várom. Lehet-e a fenti alakzatot úgy transzformálni folytonosan, hogy mindkét gumi olyan helyzetet vegyen fel, mint a sárga gumi az utolsó ábrán, azaz mindkét gumi mindkét gyurmahurkon keresztülmenjen?

3 megjegyzés:

  1. És a megoldás? Én nem tudtam.

    VálaszTörlés
  2. En arra gondoltam, hogy a gyurmaba belerakunk egy zold karikat (ami nem latszik ki), ami a fenti abran a sargaval "linkelt" karikaban van. Mivel a zold es a sagra linkelt, a zold es a piros viszont nem, ezert nem kerulhet a piros ugyanoda, mint a sarga.

    VálaszTörlés