2014. március 14., péntek

Öntsünk ki egy doboz gombostűt a pi tiszteletére

Ma van a pi válágnapja. Nem tudom ki hogyan szokta ünnepelni, 1989 március 14-én Larry Shaw amerikai fizius néhány kollégájával körbe állt és pitét (angolul pie) evett a pi tiszteletére, azóta hagyománnyá vált a pi-ről való megemlékezés az évnek ezen a napján, amit a pi első három számjegye (3,14) jelöl ki. A pi jele egyébként a periféria (kerület) görög szó kezdőbetűjéből ered, értéke a kör kerülete és átmérője közötti arányt jelöli. A pi irracionális szám, azaz végtelen sok tizedes jegye van, és ezek nem ismétlődnek periodikusan. A pi értéke a gyakorlatban is fontos a kör kerületének és területének a számításához, ezért a pi értékének a közelítése már az ókorban is fontos volt. Az idők folyamán számtalan becslés született rá. A Bibliából például kiderül (Kir. 7:23), hogy annak idején a zsidók szimplán hárommal közelítették. De az is előfordult már, hogy a pi értékét törvényben határozták meg, például Kínában a Han-dinasztia alatt 3,1547 volt törvénybe foglalva. Manapság persze számítógépekkel több trillió jegyig kiszámolható a pi.

A pi becslése hagyományosan pi valódi értékének valamilyen közelítő számításából kapható, például a körvonal sokszögekkel való közelítéséből alsó és felső becsléseket lehet adni. Megemlékezés gyanánt én most egy, a hagyományostól gyökeresen eltérő, megközelítésről szeretnék írni, nevezetesen arról, hogy kilépve a tisztán matamatikai keretből, hogyan lehet a pi értékét kísérleti úton megállapítani, azaz megmérni, mégpedig a valószínűség-számítást is segítségül hívva. A módszer de Buffon gróftól származik 1777-ből, és Buffon-féle tűprobléma néven vált ismertté. Képzeljünk el egy hajópadlót, amely D szélességű és egymáshoz szorosan illeszkedő párhuzamosan futó hosszú deszkákkal van burkolva. Mi a valószínűsége annak, hogy leejtve egy L hosszúságú tűt a padlóra, az keresztezi valamelyik deszka szélét?

Feltéve, hogy L < D, továbbá hogy a tű véletlenszerűen esik le a padló bármely pontjára, és egyik irány sem kitüntetett, továbbá a tű ideálisan vékony, akkor a választ a geometriai valószínűség fogalmaival rövid számolás után meg lehet adni, és a keresett valószínűség értékére P = 2L/(Dπ) adódik, amiben érdekes módon szerepel a pi. Így tehát pi értékére statisztikai becslést adhatunk mérések alapján, ha sok tűt ejtünk le véletlenszerűen és egymástól függetlenül, majd megszámoljuk, hogy hányad részük keresztezte valamely deszka szélét. Az alábbi ábrán például 38mm hosszú tűket dobáltam a 65mm széles padlócsíkokra. Becsüljétek meg ez alapján a pi értékét! Ezzel a pár tucat tűvel a hiba mindössze másfél százalék. Minél több tűt használunk, annál jobb becslést kaphatunk, azonban fontos megjegyezni, hogy a mérésnek mindig lesz statisztikai hibája, hiszen a véletlen szerepet játszik a kapott eredményben.

2 megjegyzés:

  1. "Minél több tűt használunk, annál jobb becslést kaphatunk"

    Erről a félmondatról is lehetne egy hasonlóan érdekes cikket írni.

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Terveim szerint lesz még szó erről a témáról.

      Törlés