A Rubik-kocka univerzuma

Idén ünneplik világszerte a Rubik-kocka feltalálásának 40. évfordulóját és Rubik Ernőt, aki a napokban töltötte be 70. életévét. A kockát eredetileg térgeometriai szemléltető eszköznek szánta az Iparművészeti Főiskola tanulóinak, egyáltalán nem sejtette, hogy világsikerű játék lesz belőle, melynek népszerűsége máig töretlen. Ehhez nyilván hozzájárult, hogy a kocka iparművészeti tárgy is egyben, amely bárkinek ott lehet a polcán vagy a zsebében anélkül, hogy birtokosa képes lenne a kockát kirakni. Az intelektus ikonikus szimbóluma, hiszen a kocka kirakását csak relatíve kevesen sajátítják el. Ha a kocka kirakását valaki saját maga akarja megoldani, akkor az komoly kombinációs és logikai készséget, térgeometriai látást és rendkívül nagy türelmet igényel. Első alkalommal Rubik Ernőnek is egy hónapba telt kiraknia találmányát. A kocka bonyolultságát mutatja lehetséges állapotainak csillagászati száma. Ez nem csak szójáték, ugyanis a kitekerhető állapotok száma több mint százmilliószorosa a galaxisunkban lévő csillagok becsült számánál. Ha ennyi Rubik-kockát szorosan egymás mellé raknánk, akkor a sor hatvanszor távolabb érne, mint a Napunkhoz legközelebb eső szomszédos csillag, ami több fényévnyi távolságra van. Ezek ismeretében talán nem véletlen, hogy Rubik Ernő tiszteletére aszteriodát is elneveztek a csillagászok.

De nézzük csak, hogyan lehet kiszámítani az kitekerhető állapotok számát. Ha valaki nem tudja tekergetéssel kirakni a kockát, egy kis csalással célt érhet anélkül is, hogy átragasztgatná a matricákat. A kockát ugyanis szét lehet szedni és újra összerakni. A szétszedés trükkje, hogy az egyik lapot félig el kell forgatni, és ezen a lapon az egyik élkockát kipattintani a helyéről, így feltárul a kocka belső szerkezete. Tekintsük először azt a kérdést, hogy a szétszedett kockát hányféle képpen lehet újra összerakni. Szétszedett állapotban látható, hogy a lapok közepén lévő elemek egymáshoz képest fixek, azokat egy kereszt tartja össze, tehát csak a sarok és él kockák visszarakásában van szabadságunk. A tizenkét kis élkockát 12! sorrendben rakhatjuk vissza, és mindegyiket kétféleképpen rakhatjuk be a kiszemelt helyre, ami 12!·2¹² lehetőség. Sarokkockákból nyolc darab van és minden egyes kis kockát három féle képpen forgathatunk, amikor egy kiszemelt sarokba rakunk, így a sarokkockákat 8!·3⁸ féle képpen rakhatjuk vissza. Mivel a sarkok és élek visszarakása egymástól függetlenül történhet így a lehetőségek száma összesen 12!·2¹²·8!·3⁸ = 519 024 039 293 878 272 000.

Igen ám, de aki rutinos kocka forgató, az tudhatja, hogy nem lehet akármit kirakni tekergetéssel. Akárhogyan is próbálkozunk, nem lehetséges elérni azt, hogy két elem kicserélődjön, miközben a többi elem változatlan helyen marad. Továbbá nem lehetséges egyetlen sarkot úgy elcsavarni, hogy közben a többi sarok változatlan helyen és állásban maradjon, és hasonló állítás igaz az élekre is. Az élekre vonatkozó állítás könnyen belátható, ha tekintjük a kocka felületének bal oldalon látható csíkos felosztását, és az élkockákra számokat írunk az ábrán látható módon. Tetszőleges lap elforgatása esetén a főpántokon lévő számok összege egész számmal változik, így nem lehetséges egyetlen élkocka megfordítása. A csúcsokra vonatkozó állításhoz tekintsük a jobboldali felosztást és számozást. Szintén könnyen belátható, hogy tetszőleges lap elforgatása egész számmal változtatja a főlapokon lévő számok összegét, míg egyetlen sarokkocka elforgatása tört számot változtat. A fenti állításoknak megfelelően a kocka összerakásánál az utolsó elemek helye és állása korlátozott, ha azt szeretnénk, hogy a kocka gyári állása kitekerhető legyen. Végeredményben a kocka variációs lehetőségeinek száma szétszedés nélkül 12!·2¹¹·8!·3⁷/2 = 43 252 003 274 489 856 000.