Kolmogorov, a matematikus óriás

Ezen a napon hunyt el a 20. század kimagasló matematikus óriása, Andrej Nyikolajevics Kolmogorov, aki idén lenne 111 éves. Szinte nincs a matematikának olyan területe, ahol ne alkotott volna maradandót és előremutatót, de munkássága kiterjedt a fizika számos területére, számítástudományra, geológiára, sőt még Puskin stílusjegyeinek elemzésével is foglalkozott. Egyik tanítványával, Vlagyimir Igorevics Arnolddal, feloldották Hilbert tizenharmadik problémáját. Tanítványa volt Rényi Alfréd is. Kolmogorov életművét fémjelzik a róla elnevezett fogalmak, mint például a valószínűségszámítás Kolmogorov-axiómái, Kolmogorov-féle valószínűségi mező, Kolmogorov-kiterjesztés, Chapman–Kolmogorov-egyenlet, Kolmogorov–Sinai-entrópia, Kolmogorov-komplexitás, Kolmogorov–Szmirnov-próba, Kolmogorov–Nagumo-tétel, Kolmogorov–Arnold–Moser-tétel (KAM-elmélet), turbulencia Kolmogorov-féle spektrális elmélete, nagy számok Kolmogorov-féle erős törvénye, csak hogy néhányat említsünk a teljeség igénye nélkül.

Kolmogorovot legtöbben a valószínűségszámítással kapcsolatban ismerik, teljes joggal, hiszen ő fektette le a biztos mértékelméleti alapokon nyugvó modern valószínűségszámítást. Szépen példázza a mértékelmélet jelentőségét, hogy konstruktívan képes feloldani olyan paradoxonokat, mint például az ún. Borel–Kolmogorov paradoxon. Képzeljük el, hogy egy véletlen pont egyenletes eloszlású egy gömb felszínén. Ha tudjuk, hogy a pont valamely főkörre esik, akkor azt gondolnánk, hogy a szimmetria miatt a megszorított (ún. feltételes) eloszlás is egyenletes a főkörön, akármelyik főkörről is legyen szó, függetlenül a választott paraméterezéstől. Az alábbi két megközelítés azonban eltérő eredményre vezet.

A gömb felszínén egyenletes eloszlású pont kiválasztása ekvivalens azzal, hogy választunk egy hosszúsági kört egyenletes eloszlással a [-π,π] intervallumból, majd a kiválasztott hosszúsági körön egy szélességet választunk a szélességi kör kerületével, azaz a szélesség koszinuszával arányos sűrűségfüggvénnyel. Eszerint viszont azt találjuk, hogy a feltételes eloszlások mások, nevezetesen egyenletes vagy koszinusszal arányos, attól függően, hogy mely főkörre kondicionálunk. A naív valószínűségszámítás válasza erre természetesen az, hogy a feltételes valószínűség nem értelmezhető zérus valószínűségű eseményekre kondicionálva, hiszen az nullával való osztást eredményez, azonban a mértékelmélet segítségével fel lehet oldani a paradoxont a fenti paraméterezésekre vonatkoztatva is.

Zárásként álljon itt Kolmogorovtól egy elgondolkodtató idézet a naplójából:

At a given moment there is only a fine layer between the 'trivial' and the impossible. Mathematical discoveries are made in this layer.