Gyöngyszemek

1996-ban az akkori KöMaL elmúlt 100 éves történetéből a legszebb fizika példák megjelentek egy külön kötetben. Bár a könyv már csak antikváriumban fellelhető, mindenkinek csak ajánlani tudom, hogy vadásszon rá, mert ezek a példák tényleg gyöngyszemek. De mitől is nevezhetünk valamit gyöngyszemnek? Én azt gondolom a szép példák ismérve, hogy egyrészt maga a feladat egyszerűen hangzik, egyszerűen megfogalmazható, adott esetben akár azért, mert hétköznapi, életszerű. Másrészt a megoldása frappáns, vagyis a megoldás is egyszerű, csak a megfelelő eszközt, vagy még jobb, ha csupán megfelelő nézőpontot kell találni hozzá.

Egy ilyenre szeretnék példát is hozni. Bár a kötetben ez nem szerepel, de ha most jelenne meg szerintem minden bizonnyal belekerült volna, hiszen a megoldására tavaly, a KöMaL őszi ankétján, kiosztották a tavaly elhunyt Zawadowski Alfréd tiszteletére elnevezett díjat, amit a legszebb megoldásokért adományoznak. A szóban forgó P4910-es példa eredeti szövege így szól: Egy erdő belsejében a B pontból szeretnénk az A pontba eljutni. A fák között u sebességgel tudunk haladni tetszőleges irányban. Van azonban az erdőben egyetlen nyílegyenes és jól járható ösvény, amin ku (k > 1) sebességgel tudnánk haladni. Ez az ösvény elkerüli a B pontot, de átmegy az A ponton, és az AB egyenessel α szöget zár be. Milyen úton haladjunk, hogy a legrövidebb idő alatt jussunk el az A pontba?

Maga a hivatalos megfogalmazás egy kicsit formális, de egy teljesen hétköznapi szituációról van szó. Ugyanez a kérdés sok különböző helyzetben felmerülhet. Például a göröngyös mezőn mész toronyiránt, vagy inkább kimész az útra, ahol gyorsabban tudsz haladni? A magas hóban mész, vagy átvágsz a kitasposott ösvényre? Nyílegyenesen mész botorkálva a sötétben, vagy a kivilágított betonút felé veszed az irányt? A süppedős homokban haladsz a kerékpárral a legrövidebb úton a cél felé, vagy letérsz, hogy elérd a jobban járható földutat? Ezek olyan kérdések, amikre valóban hasznos tudni a választ, és mindig ott motoszkál a fejünkben a kétség, hogy melyik is a gyorsabb.

Első ránézésre ez egy számolós, különösebb kreativitást nem igénylő feladatnak tűnik. Amikor kitűztem, én magam sem gondoltam, hogy több frappáns megoldás is érkezni fog rá. Annak ellenére azonban, hogy egy kinematika példáról van szó, átfogalmazható optikai, sőt hangtani példának is, és az optika és hangtan jól ismert törvényei segítségével a megoldás könnyen adódik anélkül, hogy az ember a differenciálszámítás matematikai apparátusát kéne igénybe vegye. A megoldás tulajdonképpen adott, csak a nézőpontot kell megfelelően megválasztani, azaz a példát megfelelően átfogalmazni, és ez az igazi szépség benne. A legnagyobb felismerések, a megértés, és az új gondolatok mindig akkor jönnek létre, amikor egymástól távoli addig kapcsolatban nem lévő területek vagy fogalmak között teremtünk kapcsolatot.

Nézzük ezeket a frappáns megoldásokat, amik fizika feladattá alakítják ezt a geometriai problémát. Ha a legrövidebb idejű utat keressük, akkor adja magát, hogy az optikát hívjuk segítségül, hiszen a fény terjedését leíró Fermat-elv azt mondja, hogy a fény két pont között olyan útvonalon terjed, amely mentén a fényterjedés ideje a legkisebb a szomszédos, azaz a tényleges útvonaltól csak kicsit eltérő, útvonalak idejéhez képest. Tegyük fel, hogy az erdő ösvényen túli részében mindenhol ku sebességgel haladhatunk. Ez a feladaton nem változtat, hiszen ha már elértük az ösvényt, akkor azon egyenes úton haladva érünk leghamarább az A pontba, nem érdemes az erdőben görbe útvonalon haladni még akkor sem, ha az erdőben is tudunk olyan gyorsan haladni, mint az ösvényen. Ezen kívül tegyük fel, hogy az A pont egy hangyányival az ösvény túloldalára esik. Ebben az esetben feladatunk az alábbi kérdésnek felel meg az optika nyelvén. Milyen úton halad a fény az optikailag sűrűbb közeg B pontjából az optikailag ritkább közeg A pontjába, ha a két közeg határa az ösvény egyenese és a relatív törésmutató, azaz a fénysebességek aránya éppen k?

A B pontból kiinduló fénysugarak megtörését a közeghatáron a Snellius-Descartes törvény írja le, ami azt mondja, hogy a beesési és törési szögek szinuszainak aránya a relatív törésmutató. Jelen esetben a törési szög az ösvény túloldalán éppen derékszög kell legyen, mert tudjuk, hogy az ösvényen fog haladni a legrövidebb út. A törési törvényből tehát kiszámítható, hogy mi az a pont az ösvényen, ahol a megtört fénysugár épp az ösvénnyel párhuzamossá válik. Ha ennél a pontnál távolabb érné el a fény a közeghatárt, akkor ott már teljes visszaverődés történne. Az utunk ösvényig tartó erdőben haladó egyenes szakaszának az ösvénnyel bezárt phi szögére, az adódik, hogy a cos(phi) = 1/k egyenletet kell kielégítenie. Ha pedig netán az A pont a teljes visszaverődés ezen helyétől visszább lenne található, akkor végig az erdőben érdemes haladnunk.

Bár ez is szép megoldás volt, de a Zawadowski-díjat érő megoldás a hangtanra épít. Ez a megoldás Szakály Marcell fazekasos diáktól származik, aki a problémához fordítva állt hozzá, azaz az A pontból kereste a legrövidebb utat a B pontba. Ehhez elképzelte, hogy az A pontból egy hangforrás indul el és halad az ösvény mentén ku sebességgel, miközben folyamatosan hanghullámokat kelt, amik u sebességgel terjednek az erdőben. Az a kérdés, hogy hol helyezkednek el azok a pontok, amelyeket a hanghullámok elérnek a hullámforrás indulásától számított t idő alatt? A különböző helyekről különböző időpillanatokban kiinduló gömbhullámok (ill. síkban körök) egy kúpot, az ún. Mach-kúpot jelölik ki, aminek a fél nyílásszöge az ún. Mach-szög, ami állandó és értéke arcsin(1/k). Az idő múltával lesz egy olyan pillanat, amikor az egyre táguló Mach-kúp alkotója (vagyis a hullámfront) eléri a B pontot, ebből pedig megszerkeszthető a legrövidebb út is, ami az előző megoldással egyező végeredményre vezet. A fenti megoldások mindegyike megtalálható a KöMaL nyomtatott kiadásában.